多項式の求根は古代ギリシアの時代より重要な問題であった。しかしいくつかの多項式、例えば X2 + 1 のようなものは実数体 R の範囲で考える限りにおいて根を持たない。そのような多項式に対する分解体の構成は、新たな体の中に多項式の根を求めることを可能にするものである。

多項式の求根は古代ギリシアの時代より重要な問題であった。しかしいくつかの多項式、例えば X2 + 1 のようなものは実数体 R の範囲で考える限りにおいて根を持たない。そのような多項式に対する分解体の構成は、新たな体の中に多項式の根を求めることを可能にするものである。

F を体、p(X) は多項式環 F[X] の n-次多項式とする。多項式 p(X) の F 上の分解体を構成する一般の過程は、体の拡大の列 F = K0, K1, …, Kr−1, Kr= K で、各 Ki が p(X) の新たな根を含む Ki−1 の拡大となっているようなものを構成することである。p(X) は高々 n 個しか根を持たないのだから、この構成も高々 n 段階の拡大を想定すればよい。各 Ki に対する構成は以下のようにする:

p(X) を Ki 上の既約因子の積 f1(X)f2(X) … fk(X)に因数分解する。
そのうちの一次式でない既約因子 f(X) = fi(X)を選択する。
体の拡大 Ki+1/Ki を、f(X) の根体、すなわち剰余環 Ki+1 = Ki[X]/(f(X)) として構成する。ここに、記号 (f(X)) は f(X) の生成する Ki[X] のイデアルである。
p(X) が完全に分解されていなければ、Ki+1 に対して上記の操作 1–3 を繰り返す。
上記の剰余環の構成に用いる既約因子 fi の取り方は任意でよいが、取り方が異なれば得られる拡大体の列は異なることに注意せよ。それにも拘らず最終的に得られる最小分解体は同型の意味で一意である。

f(X) を既約にとることで、イデアル (f(X)) は極大イデアルとなり、従って剰余環 Ki[X]/(f(X)) が実は体となることが導かれる。さらに言えば、剰余環への自然な射影 π: Ki[X] → Ki[X]/(f(X)) は


を満たすから、π(X) は f(X) の(したがって p(X)の)根になる(根体の項も参照)。

各拡大における拡大次数 [Ki+1 : Ki] は既約因子 f(X) の次数に等しいから、求める拡大の次数 [K : F] は各拡大の次数すべての積 [Kr : Kr−1] … [K2 : K1][K1 : F] に等しく、高々 n! である。

上記の通り、剰余環 Ki+1 := Ki[X]/(f(X)) は f(X) が既約であるとき体を成す。この体の元は、cj ∈ Ki および α = π(X) として、


なる形に表すことができる(Ki+1 を Ki 上のベクトル空間と見れば、α の冪 αj (0 ≤ j ≤ n−1) がその基底を与えるということ)。

つまり Ki+1 の各元は α の次数高々 n の多項式と看做すことができる。Ki+1 の加法は多項式の加法によって、乗法は f(X) を法とする多項式の乗法で与えられる。すなわち、g(α), h(α) ∈ Ki+1の積 g(α)h(α) = r(α) は、Ki[X] において g(X)h(X)を f(X) で割った剰余 r(X) によって与えられる。

剰余 r(X) は多項式長除法によって計算することができるが、もっと直接的な簡約規則によっても r(α) = g(α)h(α) を直接計算することもできる。まず f(X) は体上の多項式であるから、それが最高次係数 1


と仮定して一般性を失わない。α が f(X) の根とすれば、


であり、積 g(α)h(α) の m ≥ n なる項 αm は


と簡約することができる。

この簡約規則を用いる例として、Ki = Q[X] を有理係数多項式環として、既約多項式 f(X) = X7 − 2 をとる。g(α) = α5 + α2, h(α) = α3 + 1 を Q[X]/(X7 − 2) の二元とすれば、f(X) による簡約規則は α7 = 2 だから、g(α)h(α) = (α5 + α2)(α3 + 1) = α8 + 2 α5 + α2 = (α7) α + 2α5 + α2 = 2 α5 + α2 + 2αと計算できる。

^ すべての元の二乗を計算すればわかるが、7 は 4 を法として 1 に合同でないことからもわかる。

K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の(それを一次式の積に分解することができるという意味で)分解体となっているとき、L は K の正規拡大であると言う。

抽象代数学において、与えられた多項式の分解体(ぶんかいたい、英: splitting field)とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数(英語版)が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

体 K 上の多項式 p(X) の(最小)分解体とは、Kの拡大 L であって、L において p が一次因子 (X− ai) ∈ L[X] の積


に分解され、なおかつ L がこれら根 ai によって K 上生成されるときに言う。したがって拡大体 L は p が分解するような K の拡大体の中で、拡大次数(英語版)が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができる。そのような同型の取り方の自由度は、多項式 p のガロワ群と呼ばれる(p は分離的であるものとする)。

実数体 R 上の二次式 x2 + 1 の分解体は複素数体 C である。
有理数体 Q 上の二次式 x2 − 2 の分解体は二次体 である。
素数 p とそのべき q = pn に対して、素体GFp 上の多項式 xq − x の分解体は有限体 GFqである。

例えば、K が有理数体 Q であり、

P(X) = X3 − 2
のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。 従って、


であり、L は K = Q の6次拡大である。ここで、


は、1 の立方根である。

標数 7 の素体 GF7 上の二次式 x2 + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF49 である。−1 は GF7 上平方根を持たないからである[1]。
GF7 上の二次式 x2 − 1 の分解体は、GF7 である。 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF7 で一次式の積に因数分解できるからである。

K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の(それを一次式の積に分解することができるという意味で)分解体となっているとき、L は Kの正規拡大であると言う。

K を含む代数閉体 A を固定して考えるとき、拡大 A/K の中間体で K 上の多項式 p の分解体となるものがただ一つ存在し、それは p の A における根を K に全て添加して得られる体に他ならない。K が複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。

K の分離拡大 K' に対し、K' のガロワ閉包 (Galois closure) L は分解体の一種で、K の K' を含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元 a ∈ K' の K 上の最小多項式として得られる全ての K-係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。

 

 

{\begin{matrix}K\\|\\k\end{matrix}} (可換)体の組 K, k が与えられるとき、体の拡大 K/k [注釈 1]とは、k は K に集合として含まれ[注釈 2]、k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に一致していることをいう。またこのとき、k は K の部分体(ぶぶんたい、subfield)、基礎体(きそたい)あるいは下にある体であるといい、K は k の拡大体(かくだいたい、extension field)あるいは上にある体であるという。

(可換)体の組 K, k が与えられるとき、体の拡大 K/k [注釈 1]とは、k は K に集合として含まれ[注釈 2]、k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に一致していることをいう。またこのとき、k は K の部分体(ぶぶんたい、subfield)、基礎体(きそたい)あるいは下にある体であるといい、K は kの拡大体(かくだいたい、extension field)あるいは上にある体であるという。

同じことだが、可換体 K が体 k を集合として含み、かつ k-多元環の構造をもつとき K/k を体の拡大という。後の条件のないときは拡大体といわず上体と呼ぶ流儀もある。いずれの場合も上にあるとか下にあるとかといった言い回しは用いて構わない。多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数(じすう、degree of field extension)といい、[K : k] などで表す。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/kは有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という。

K, M, k が体で K/M および M/k がともに体の拡大であるとき K/M/k と書いて体の拡大の列と言い、M を拡大 K/k の中間体(ちゅうかんたい、intermediate field)という。


もし M, N がともに K/k の中間体なら、共通部分 M ∩ N もふたたび K/k の中間体となる。とくに、K の部分集合 E と k に対して、E と k とをともに含む最小の体が存在する。これを k に Eを添加(てんか、adjunction)した体とよび k(E) のように表す。また、部分体 M に対し M = k(E) となるとき、M は E によって k 上生成された体であるといい、E を M の k 上の生成系とも呼ぶ。中間体 M, N に対して和集合 M ∪ N は必ずしも体とはならないが、M ∪ N を含む最小の体 MN := M(N) = N(M) を M と N の合成体と呼ぶ。

代数閉包の(同型を除く)一意性から、通常はある体 k の拡大を考えるときには、k の代数閉包 k を一つ固定し、k の任意の拡大は代数閉包 k に含まれる中間体であるものとして議論を進めることが多い。

k に有限集合 E = {a1, ..., an} を添加した体 k(E) は k 上有限生成あるいは k 上有限型であるといわれ、k(a1, ..., an) とも略記される。特に生成系が一元集合 E = {α} のとき、k(α) を k に α を添加して得られる単拡大あるいは単純拡大(たんじゅんかくだい、simple extension)という。一般に、有限とは限らない集合 E を添加するとき、


となる。ただし、F は包含関係による帰納系と見た E の有限部分集合全体を動く。


有限生成拡大体 k(a1, ..., an) は、k 上の n個の不定元 x1, ..., xn に関する多項式を使って、


の形に表すことができる。これは、k(a1, ..., an) が


によって定まる k 上の環(これは k と a1, ..., anを含む最小の環で、k 上 a1, ..., an で生成される環と呼ばれる)の商体であることを意味する。

 
代数性・超越性編集
K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的(だいすうてき、algebraic over k)であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式(さいしょうたこうしき、minimal polynomial)とよび、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべて代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k が代数的でないとき、拡大 T/k は超越的(ちょうえつてき、transcendencial)であるという。T の元 tは代数的でないとき k 上の超越元という。t が体 k 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。

拡大 K/k が与えられたとき、K の元 α1, α2, ..., αn に対して、恒等的に 0 でない n 変数の多項式 F(X1, X2, ..., Xn) で F(α1, α2, ..., αn) = 0 を満たすものが存在するとき、α1, α2, ..., αn は代数的従属 (algebraically dependent) であるといい、そうでないとき代数的独立 (algebraically independent) であるという。

超越拡大 T/k に対し、T の k 上代数的独立な元からなる部分集合 B で拡大 T/k(B) が代数的となるとき、B は T / k のあるいは T の k 上の超越基または超越基底(ちょうえつきてい、transcendencial basis)という。ツォルンの補題(T が k 上有限生成の場合は帰納法)により、超越基底は常に存在する[1]。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。また、超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できるので[2]、これを T の k 上の超越次数(ちょうえつじすう、transcendencial degree)あるいは次元(じげん、dimension)といい、degkT あるいは trans.degkT などと表す。例えば、代数函数体 k(x1, ..., xn) は k 上 n-次元の純超越拡大体である。

有限次拡大はすべて代数拡大であり[3]、また超越拡大はかならず無限次元拡大である。しかしそれぞれ逆はいえない、つまり無限次元の代数拡大が存在する[4]。

代数拡大 K/k が正規拡大 (normal extension) であるとは、多項式環 k[X] において K に根をもつすべての既約多項式が一次式の積に分解されることをいう。すべての代数拡大 K/k は正規閉包 L――つまり拡大 L/K のうち L/K が正規となる最小の拡大体――をもつ。

代数拡大 K/k が分離拡大 (separable extension) であるとは、体 K のすべての元の最小多項式が分離的である――つまり k の代数的閉包において重根をもたない――ことをいう。原始元定理からわかることとして、すべての有限次分離拡大は単純拡大であることがある。

ガロア対応の例
ガロア拡大 (Galois extension) とは正規かつ分離的な拡大体のことである。体の拡大 K/k が与えられたとき、自己同型群 Aut(K/k) を考えることができる;これは k の各元を固定するすべての体の準同型からなる。ガロア拡大に対してはこの自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれる。またガロア群がアーベル群となるような拡大はアーベル拡大と呼ばれる。体の拡大が与えられたとき、その中間体にしばしば興味がある。ガロア拡大ガロア群の著しい特徴は中間体の記述が完全にできることである:ガロア理論の基本定理で述べられているように中間体とガロア群の部分群の間には全単射が存在する。

体の準同型というのは、体を単位的環とみなしたときの単位的環の準同型で、体の単純性から単射となるため通常は中への同型と呼ばれる。一方、拡大 K/k が与えられたとき、上の体 K に下の体 k が特別な構造として備わっていると考えて、K の自己準同型の中でも k に自明に作用するものが特別に扱われる(これは K を k 上の多元環とみたときの k-多元環の自己準同型である)。

K の自己準同型 f によって k の元が動かされないということは、k の零でない元が f で零に写されることが無いので、そのような f は零準同型にならず、必然的に f は上への同型になる。kの元を動かさない K の自己同型を、K における k 上の同型あるいは k-同型という。また、拡大 K/k 上の自己同型ということもある。K の k 同型全体を Aut(K/k) または Autk(K) などで表す。Aut(K/k) は写像の合成を積として群をなし、Kの k-自己同型群と呼ばれる。また、拡大 N/k が正規ならば k-自己同型群 Aut(N/k) を特に拡大 N/k のガロア群と呼んで、Gal(N/k) や G(N/k) と記す。

なお一般に二つの拡大 K/k と L/l があって、上の体の中への同型 f: K → L と下の体の中への同型 g: k → l が与えられるとき、


f の k への制限 f|k がちょうど g となるなら f を g の上にある K 上の(L の中への)同型あるいは拡大 K/k から L/l への準同型という。

^ 記号 K/k において、記法 "/k" は「体 k 上の」(over k) という意味であり、これはなんらかの商代数系や割り算を意味するものではない。一方で K/k を剰余群や商環などと同様の商構造と見ることもできる。K を k 上のベクトル空間と思えば、商集合としての K/k は K の k 上の基底にあたるものであり、K がある k 係数多項式の分解体ならば、K/k は多項式の根全体の集合と見なされる。また k-自己同型群 Aut(K/k) は商集合としての K/k 上に置換として作用する。特に拡大 N/k が多項式に分解によって得られる正規拡大ならば、ガロア群 Gal(N/k) は多項式の根の置換によって定まる対称群の部分商である。[要出典]
^ 上の体が厳密な意味では下の体を含んでいない場合にも、体の拡大と呼ぶことがある。つまり、適当な埋め込み写像が与えられていて、その埋め込まれた像を下の体として体の拡大を考えるとき、埋め込みの像と原像とを同一視して扱うのである。

 

非可換体(あるいはもっと一般の環)の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として(可換な)体構造をもつとき、元の非可換体の(可換)部分体と呼ぶ。

抽象代数学のとくに体論において体の拡大(たいのかくだい、英: field extension)は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。

体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない(そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す)。ただし、非可換体(あるいはもっと一般の環)の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として(可換な)体構造をもつとき、元の非可換体の(可換)部分体と呼び、元の非可換体を(非可換)拡大体と呼ぶことがある。

 

1960年代遅くに、ラングランズ対応は谷山・志村予想というような数論の重要な予想と関連している。これは特別な場合としてフェルマーの最終定理を特別な場合として持っている。

ゲージ理論(ゲージりろん、英: gauge theory)とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。

幾何学的ラングランズ対応(geometric Langlands correspondence)は、上に示した楕円曲線のような代数曲線に付随する抽象的幾何学的な対象の間の関係である。

楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。

 

双対性ということばは、2つの一見異なる物理系が非自明な方法で等価であることが分かることを意味する。

2つの理論が双対関係にあると、一つの理論から何らかの方法でもう一つの理論のように見える結果へと変換できることを意味する。このときに、2つの理論はこの変換の下で互いに双対であるという。別な言い方をすると、2つの理論が同じ現象の数学的には異なる記述となっているとも言える。

S-双対は、結合定数 を持つ理論を、結合定数 を持つ等価な理論と関係付けるので、有益である。このように、S-双対は、強結合の理論(そこでは結合定数 が 1 よりも非常に大きい)を弱結合の理論(そこでは結合定数 が 1 よりも小さく、計算が可能)へと関連付ける。この理由から、S-双対は、強弱双対性と呼ばれる。

マクスウェル方程式の解く(英語版)ような電場と磁場が与えられると、これらの電場と磁場が入れ替えても、新しい場がマクスウェル方程式の解を再び与えるような新しい物理的な設定することが可能となる。

この状況が、場の量子論の中のS-双対の最も基本的な事項である。実際、以下に説明するように、場の量子論フレームワークには、このマックスウェル方程式の対称性を直接一般化したS-双対のバージョンが存在する。

数学では、古典的なラングランズ対応は、数論を表現論として知られている数学の分野と関連される予想と結果の集まりである。[13] ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)により1960年代遅くに、ラングランズ対応は谷山・志村予想というような数論の重要な予想と関連している。これは特別な場合としてフェルマーの最終定理を特別な場合として持っている。[13]

数論ではラングランズ対応は重要であるにも関わらず、数論の脈絡でのラングランズ対応の確立は非常に困難である。[13] 結果として、幾何学的ラングランズ対応として知られていることに関連する予想で仕事をしている数学者もいる。これは、元来のバージョンに現れる数体を函数体に置き換えることで、代数幾何学のテクニックを適用して、古典的なラングランズ対応を幾何学的に再定式化することである。[14]

2007年からのアントン・カプスティン(英語版)(Anton Kapustin)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、幾何学的ラングランズ対応がモントネン・オリーブ双対性の数学的記述と見なすことができることを示した。[15] S-双対で関連付けられた 2つのヤン=ミルズ理論から始めて、カプスティンとウィッテンは、2次元時空内の場の量子論のペアを構成することが可能であることを示した。何がこの次元簡約(英語版)(dimensional reduction)がD-ブレーン(en:D-branes)と呼ばれる物理的対象となるのかを分析することにより、彼らは幾何学的ラングランズ対応の数学的な要素を再現できることを示した。[16] かれらの仕事は、ラングランズ対応が場の量子論のS-双対に密接に関連していて、双方の対象に有効に適用できることを示した。[13]

 

場の量子論では、S-双対性は、古典電磁気学で良く知られた事実、すなわち、電場と磁場の交換の下にマクスウェルの方程式の不変であると言う事実を一般化したものである。1990年代中期には全ての 5つの整合性をもった超弦理論の全てが、単一の 11次元のM-理論と呼ばれる理論の異なる極限として実現されることを導いた。

理論物理学では、S-双対(S-duality)は、2つの物理理論の等価のことで、この物理理論は場の量子論でも弦理論でもよい。S-双対は、計算することが難しい理論をより計算し易い理論に結びつけるので、理論物理で計算する際に有益である。[1]

S-双対の実例は、サイバーグ双対(英語版)(Seiberg duality)で、N=1超対称ヤン・ミルズ理論(英語版)(N=1 supersymmetric Yang-Mills theory)と呼ばれる 2つのバージョンの理論を関連付ける。

弦理論には多くのS-双対の例がある。これらの弦双対性(英語版)(string duality)の存在は、一見異なるように見える弦理論の定式化が、実際は物理的等価であることを意味する。このことは1990年代中期には全ての 5つの整合性をもった超弦理論の全てが、単一の 11次元のM-理論と呼ばれる理論の異なる極限として実現されることを導いた。[3]

べき級数展開が意味を持つためには、結合定数が 1 よりも小さい必要があり、従って の高い次数のべきは無視できるほどに小さく、和は有限となる。結合定数が 1 よりも大きいと、この項の和はどんどんと大きくなり、展開は意味のない無限大の値をもたらす。この場合、理論は「強い結合」といわれ、摂動論を予言をすることに使うことができない。