外積代数

可微分多様体上、外微分(がいびぶん、英: exterior derivative)は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理…

これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数(テータかんすう、英: theta function)は、 で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その…

hocは「これ」「この」という意味で、英語では「for this」に相当することになる。

アドホック(ad hoc)は、「特定の目的のための」「限定目的の」などといった意味のラテン語の語句である。 ad hocのadは「~へ」「~について」、hocは「これ」「この」という意味で、英語では「for this」に相当することになる。 ヨーロッパ諸語では様々な…

上記級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する(s = 1 のとき調和級数である)が、解析接続によって s = 1 を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。

数学におけるリーマンゼータ関数(リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function)とは、 で表される関数 ζ のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で…

クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量(不変式)を扱うものだと定義した。

エルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム(独: Erlanger Programm, 英: Erlangen program)とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である…

有理数体上定義される各楕円曲線がモジュラー形式に(付随する L-函数を保つように)翻訳することができることを示唆する(今ではモジュラー性定理となった)谷山・志村予想。バウム=コンヌ予想は、K-理論の同型予想として知られるほかの一連の予想の一つとなっている。

よく知られた例は、有理数体上定義される各楕円曲線がモジュラー形式に(付随する L-函数を保つように)翻訳することができることを示唆する(今ではモジュラー性定理となった)谷山・志村予想である。これを同型を以って同一視することは、厳密な意味をどう…

超ラングランズ予想。同様に一見偶然とも思える(この場合、ある種の群の数論的結果と表現論的結果の間の)類似性から始めて、両者の結果が系として得られるような構成が予見される。

数学の統一理論(すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics)に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。偉大な数学者のあるもの[誰?]は、すべての主題(科目)は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いてい…

元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシュタイン級数は、保型形式の理論へ一般化することができる。アイゼンシュタイン級数をヒルベルト・ブレメンタールのモジュラ群のすべてのカスプに関連付けることができる。

アイゼンシュタイン級数(Eisenstein series)は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン(Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる無限級数展開を持つ特別なモジュラ形式である。元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシ…

カスプ形式(cusp form)、もしくは尖点形式とは、モジュラー形式のうちカスプでのフーリエ級数展開の定数項が 0 であるものをいう。

カスプ形式はフーリエ級数展開(q-展開(英語版)(q-expansion)を参照) の定数係数 a0 が 0 である。このフーリエ展開は、変換 の上半平面のモジュラー群の作用の結果として現れる。 他の群の場合には、複数のカスプを持つ場合があり、それに応じて複数のフ…

より一般的なホッジラプラシアン

ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス=ベルトラミ作用素を…

Ω が超球面であるときの、ラプラス作用素の固有函数は球面調和函数と呼ばれる。

ラプラス作用素のスペクトルは、対応する固有函数 f が を満たすようにできる固有値 −λ の全てからなる[要検証 – ノート]。上の式はヘルムホルツ方程式と呼ばれるものである。 Ω を Rn の有界領域とすれば、ラプラス作用素の固有函数全体はヒルベルト空間 L2…

現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 ∆f = 0 の解は調和函数と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。ラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの(=恒等的に0を対応させる微分演算子)を除けば最も簡単なものである。ラプラス作用素それ自身は拡散方程式によって記述されるような、科学密度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。

数学におけるラプラス作用素(ラプラスさようそ、英: Laplace operator)あるいはラプラシアン(英: Laplacian)は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では ∇·∇, ∇2, あるいは ∆ で表されるのが普通である。函数 f…

ワイルズによる、有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見做すことができる[なぜ?]が、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない。

GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う(というよりは本質的には同じものである)。ラングランズ自身は、アルキメデス局所体(R および C)に対するラングランズ予想を、既約表現に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。ルステ…

これらすべての予想を、有理数体 Q に替えてより一般の体、例えば(もともとの予想であり、最も重要な場合である)代数体や局所体、あるいは(素数 p に対するp-元体 Fp 上の有理函数体 Fp(t) の有限次拡大体であるような)函数体に対して定式化することができる。

ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 19…

G のアデール形式の商に対する L2-空間の内で、保型表現は無限個の有限素点に対する p-進群の表現たちと無限素点に対する特定の展開環の表現たちとの無限テンソル積である。

その後に続く保型表現 (automorphic representation) の概念は、G としてアデール代数群としての代数群を採用することに技術的に大きな価値があることを証明した。アデールの使用は、合同部分群の族を一度に全部扱う方法であるという点で言えば、保型表現は…

モジュラー形式は、モジュラー群あるいは合同部分群(英語版)のひとつを離散部分群として持つ SL2(R)(特殊線型群)や PSL2(R)(射影特殊線型群)の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。

調和解析や数論において、保型形式(ほけいけいしき、英: automorphic form)は、位相群 G上で定義された複素数(あるいは複素ベクトル空間)値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数(こ…

ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しい。

数学においてポアソン和公式(ポアソンわこうしき、英語:Poisson summation formula)とはある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見され…

各々の積分変換が持つ性質は多岐に渡るが、いくつかの性質は共通のものとなっている。例えば、すべての積分変換は線形作用素である。実は、核函数が超関数となることをも許せば、すべての線形作用素は積分変換になる(このことをきちんと定式化したものがシュワルツの核定理(英語版)である)。 そのような積分方程式に関する一般論はフレドホルム理論として知られている。この理論では、核とは「関数からなる或るバナッハ空間上のコンパクト作用素」のことであるものと理解される。状況に応じてその核はフレドホルム作用素、核作用素、フレドホ

積分変換の表名称記号t1t2u1u2フーリエ変換フーリエ正弦変換フーリエ余弦変換ハートレー変換メリン変換両側ラプラス変換ラプラス変換ワイエルシュトラス変換(英語版)ハンケル変換 アーベル変換(英語版) ヒルベルト変換ポアソン核 恒等変換 逆変換に対す…

積分変換の前身は、有限区間における関数の表現のためのフーリエ級数である。

積分変換の前身は、有限区間における関数の表現のためのフーリエ級数である。その後、有限区間という制限を取り払うために、フーリエ変換が開発された。 フーリエ級数を用いることで、どのような実践的な時間依存の関数(例えば、電子装置のターミナルを通過…

このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。数学に関する記述はさておき、積分変換が用いられる動機は理解しやすいものである。もともとの表記法では、解くことの難しい(少なくとも代数的に扱いづらい)問題が多く存在する。積分変換は、それらの問題の方程式を、元の「領域」から別の領域へと「写す」。その写された領域で方程式を扱い、そして解くことの方が、元の領域で行うよりもはるかに簡単であるような場合がある。そうして得られた解を、積分変換の逆によって元の領域へと戻すの

数学の分野における積分変換(せきぶんへんかん、英: Integral transform)とは、次の形をとるような変換 T のことである: この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。 多くの便利な積分変換が存在する。個…

G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。アイゼンシュタイン級数の一般論は、非コンパクトな場合の特徴である連続スペクトルを分離するための要求に、大きな動機を持っている。

セルバーグ跡公式(セルバーグあとこうしき、Selberg trace formula)とは、Selberg (1956) で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G …

数学において、スペクトル理論(スペクトルりろん、英語: spectral theory)とは、正方行列の固有ベクトル、固有値に関する理論の無限次元への拡張を指す。 スペクトル理論の名称は、ダフィット・ヒルベルトが自身のヒルベルト空間論の定式化に際して、“無限個の変数を持つ二次形式”に対応する固有値をスペクトルと呼んだことに由来する。スペクトル定理は、楕円体の主軸に関する定理の無限次元への拡張として考えられた。量子力学において、離散スペクトルの特徴をスペクトル理論を用いて説明できることが思いがけず知られる

スペクトル理論の定式化は主に3つの段階に分けられるが、いずれも重要である。ヒルベルトによる最初の定式化の後、物理学の要請に応える形で、主にフォン・ノイマンが抽象ヒルベルト空間とその上での正規作用素のスペクトル理論を発展させた。また、これに基…

数論における分割数(ぶんかつすう、英: partition function) p(n) は自然数 n の分割(n をその順番の違いを除いて自然数の和として表す方法)の総数を表す数論的函数である。ただし、規約として p(0) = 1 および負の整数に対して p(n) = 0 と定める。

アトル・セルバーク(Atle Selberg, 1917年6月14日 - 2007年8月6日 )はノルウェーの数学者。解析的整数論や保型函数における業績で有名、特にそれらをスペクトル理論によって関連付けた。父や兄のHenrik(1904-1993)、Sigmund(1910-1994)も数学者。 ノルウェ…

実装や高速化

大量のデータを扱う際などに用いられる線形代数を,抽象的な高次元空間を直観的にイメージするのに役立つだけでなく,どのような目的のためにはどのような処理を行えばよいかという指針ともなる,“幾何学的な解釈”も含めて解説していく。 すべての根幹として射…

愛ちゃんと尚輝くんの大事なお金

草憲と魁身を連れてカラオケに行ってフードを頼んで3756円使ってしまった。もうそうゆうことせんでよ。来月大変になるんだから。お会計のディスプレーに表示された20%引きされる前の「4695円」にちょっとぞっとした。高いじゃんて。で3756円でちょっとほっと…

交叉した宇宙

40億年後 天の河はアンドロメダと衝突する 生きていたい 40億年後もなお 人生の半分が終わったなんて考えたくもない だけど短かった気がする ムダなことしてる時間なんてホントないんだよ だから旅に出るんだ この世界を駆け巡ろう 美しく 18の頃思い描いた…

超ひも理論等の研究を行なう。宇宙初期の密度揺らぎによる、宇宙マイクロ波背景輻射の揺らぎの性質を、Wayne Huとの数々の共著論文などにおいて、相対論的に定式化して計算する方法を開発した。この方法はその後のCOBE、WMAPの観測結果との比較から、宇宙年齢やダークマターの存在量、ダークエネルギーの存在を明らかにする端緒となる先駆的な研究である。

カブリ理論物理学研究所(カブリりろんぶつりがくけんきゅうじょ、Kavli Institute for Theoretical Physics、KITP)とは、アメリカ合衆国のカリフォルニア大学サンタバーバラ校(UCSB) が擁する、世界で最も権威ある理論物理学研究所の一つである。 1979年設…

数学に分け入っていくほどに圏論での重要な概念である普遍性に出会うことになる。

重要なことは、例を通じてすでに知っている数学と新しい概念を関連づけることである。東京大学国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構。相対論的熱力学を宇宙背景輻射とブラックホールに適用した。 数学の一分野である圏論において、モナド(英語: monad…

管理職

こいつ無難に仕事してくれそうだな 面接官は気づけばそんなことばかり見ていた だって最近危ない奴が多すぎる リスク管理はなんとやらで 組織をうまく回してかないと 一日無難に過ごしてくれたらどんなにいいことか 怖いから無茶はしないで 長所ぢゃなくて君…

美しきメロディー

なんとなく午前中が終わって なんとなく午後が終わった 毎日とれない慢性疲労 よく考えたら俺もアラフォー 君がいなけりゃただの木偶の坊 そうならないようになんとかしないと ずっと一重だったまぶたが左だけ二重 いかにも疲れ目のトホホ顔 老体にムチ打っ…