土圧

土圧 (どあつ、英語: earth pressure)とは、地盤内における土による圧力のことで、状態によって水平土圧の値が変化する。擁壁に裏込めされた土により，擁壁には土圧が作用する。擁壁が転倒しないように設計を行うためには、土圧の算定が重要となる。

静止した状態にある水において、ある点における水圧はどの方向からも等しい大きさであり、水の単位体積重量にその点よりも上にある水の高さを乗ずることで得られる。土圧の場合、鉛直方向に関しては土の単位体積重量に深さを乗じた値が土圧となり、これは水と同様である。一方、水平方向は、土の単位体積重量に深さを乗じた値の0.4～0.7倍が土圧となる。土の状態によって水平土圧の値が変わり、それぞれ主働土圧、受働土圧、静止土圧と呼ばれる。

土圧の種類は3つあり、以下の通りである。

主働土圧
鉛直応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧
受働土圧
水平応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧
静止土圧
地盤内で静止している時の水平土圧
水平土圧と変位の関係は右図の通り。 また、地盤の状態はそれぞれ下図の通りである。それぞれ
K
0
{\displaystyle K_{0}\,\!}、
K
a
{\displaystyle K_{a}\,\!}、
K
p
{\displaystyle K_{p}\,\!}は静止土圧係数、主働土圧係数、受働土圧係数である。

主働土圧と受働土圧の計算方法は2つ存在し、それぞれランキン土圧、クーロン土圧と呼ばれる。

ランキン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。

擁壁は考えない。裏込め土内部の応力状態を考える(壁体が垂直かつ摩擦無し)
同一の深度では、土の応力状態は全ての場所で同じである(土の応力状態は水平方向については一定 )
裏込め土は全て破壊している状態にあると考える
背後の地盤は傾斜していない
ランキン土圧ではモール・クーロンの破壊規準を用いる。

主働土圧の時の地盤の状態
主働土圧状態
モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
σ
1
−
σ
3
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
1
+
σ
3
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}
主働土圧の時、最大主応力は
σ
v
{\displaystyle \sigma _{v}\,\!}、で最小主応力は
σ
h
a
{\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。
σ
v
−
σ
h
a
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
v
+
σ
h
a
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{v}-\sigma _{ha}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{v}+\sigma _{ha})\mathrm {sin} \phi \,\!}
上式を
σ
h
a
{\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}について整理する。
σ
h
a
=
σ
v
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
−
2
c
t
a
n
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
また、主働土圧係数
K
a
{\displaystyle K_{a}\,\!}を用いて上式を書く。
σ
h
a
=
σ
v
K
a
−
2
c
K
a
{\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}K_{a}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{a}}}\,\!}
K
a
=
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
受働土圧状態

受働土圧の時の地盤の状態
モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
σ
1
−
σ
3
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
1
+
σ
3
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}
受働土圧の時、最大主応力は
σ
h
p
{\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}、で最小主応力は
σ
v
{\displaystyle \sigma _{v}\,\!}、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。
σ
h
p
−
σ
v
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
h
p
+
σ
v
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{hp}-\sigma _{v}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{hp}+\sigma _{v})\mathrm {sin} \phi \,\!}
上式を
σ
h
p
{\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}について整理する。
σ
h
p
=
σ
v
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)
−
2
c
t
a
n
(
π
4
+
ϕ
2
)
{\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
また、受働土圧係数
K
p
{\displaystyle K_{p}\,\!}を用いて上式を書く。
σ
h
p
=
σ
v
K
p
−
2
c
K
p
{\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}K_{p}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{p}}}\,\!}
K
p
=
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)

クーロン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。

粘着力の無い砂質土を対象とする
壁体の背後の土の中に直線状の滑り面が生じ、くさび状の土塊が滑り面に沿って動く
クーロン土圧はランキン土圧よりも適用範囲が広く、壁体との摩擦、壁体の傾斜、背後の地表面の傾斜も考慮している。

主働土圧状態
クーロンの主働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。

主働土圧の時の地盤の状態

主働土圧の時の連力図
右図を連力図という。土のくさびの重量
W
{\displaystyle W\,\!}は既知。３つ力のベクトルが閉じた 三角形になるように主働土圧の合力
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}と滑り面に作用する力
F
{\displaystyle F\,\!}の大きさを決める。その時の
θ
\theta\,\!が滑り面の角度となる。
(土と壁体の摩擦角
δ
{\displaystyle \delta \,\!}と
ϕ
\phi \,\!内部摩擦角は既知、
α
{\displaystyle \alpha \,\!}と
β
\beta\,\!は土や擁壁の形を決めるものなので既知)
連力図に着目すると、正弦定理より以下の関係式を得る。
W
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
=
P
a
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}={\frac {P_{a}}{\mathrm {sin} (\theta -\phi )}}\!}
したがって、
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}は以下の通り。
P
a
=
W
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}\!}
W
{\displaystyle W\,\!}は土の重さなので別途計算する必要がある。
つまり、土塊の体積
V
{\displaystyle V\,\!}を計算し、土の単位体積重量を乗ずればよい。
この時、土の体積は単位奥行きあたりの体積であるので、実質的には土くさびの面積
S
S\,\!を求めればよい。
右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。

土くさびの面積
S
=
1
2
A
B
∗
A
C
s
i
n
(
α
−
θ
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
A
B
s
i
n
(
θ
−
β
)
=
A
C
s
i
n
(
π
−
α
+
β
)
=
A
C
s
i
n
(
−
α
+
β
)
{\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}
辺
A
B
ABを壁体の高さ
H
Hを用いて表す。
A
B
=
H
s
i
n
α
{\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S
=
V
=
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
つまり、クーロンの主働土圧は以下のように導かれる。
P
a
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
θ
−
β
)
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} \theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}}
θ
\theta\,\!の最適解は極限定理の上界定理の考え方から
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}を最大とする時の
θ
\theta\,\!となる。
すなわち、以下の関係を満たす時の
θ
\theta\,\!が最適解となり、その時の
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}がクーロンの主働土圧となる。
∂
P
a
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}
クーロンの主働土圧は以下の通りである。
P
a
=
1
2
γ
t
K
a
H
2
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}
K
a
=
s
i
n
2
(
ϕ
−
α
)
s
i
n
2
α
s
i
n
(
α
+
δ
)
[
1
+
s
i
n
(
ϕ
−
β
)
s
i
n
(
ϕ
+
δ
)
s
i
n
(
α
−
β
)
s
i
n
(
α
+
δ
)
]
2
{\displaystyle K_{a}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha +\delta )\left[1+{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi -\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}
受働土圧状態
クーロンの受働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。

受働土圧の時の地盤の状態
主働土圧と同様に連力図を用いて解く。正弦定理より以下の関係式を得る。

受働土圧の時の連力図
W
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
=
P
a
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}={\frac {P_{a}}{\mathrm {sin} (\theta +\phi )}}\!}
したがって、
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}は以下の通り。
P
a
=
W
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}\!}
また、右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。

土くさびの面積
S
=
1
2
A
B
∗
A
C
s
i
n
(
α
−
θ
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
A
B
s
i
n
(
θ
−
β
)
=
A
C
s
i
n
(
π
−
α
+
β
)
=
A
C
s
i
n
(
−
α
+
β
)
{\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}
辺
A
B
ABを壁体の高さ
H
Hを用いて表す。
A
B
=
H
s
i
n
α
{\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S
=
V
=
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。
P
p
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}}
θ
\theta\,\!の最適解は極限定理の上界定理の考え方から
P
p
{\displaystyle P_{p}\,\!}を最大とする時の
θ
\theta\,\!となる。
すなわち、以下の関係を満たす時の
θ
\theta\,\!が最適解となり、その時の
P
p
{\displaystyle P_{p}\,\!}がクーロンの受働土圧となる。
∂
P
p
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
クーロンの受働土圧は以下の通りである。
P
p
=
1
2
γ
t
K
p
H
2
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}
K
p
=
s
i
n
2
(
ϕ
−
α
)
s
i
n
2
α
s
i
n
(
α
−
δ
)
[
1
−
s
i
n
(
ϕ
+
β
)
s
i
n
(
ϕ
+
δ
)
s
i
n
(
α
−
β
)
s
i
n
(
α
−
δ
)
]
2
{\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}

ランキン土圧における仮定は、以下の通りである。

α
=
π
2
,
β
=
0
,
δ
=
0
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}},\beta =0,\delta =0\,\!}
この時主働土圧および、受働土圧は以下のように得られる。

主働土圧
P
a
=
γ
t
H
2
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
2
s
i
n
θ
c
o
s
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta -\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。
∂
P
a
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、
θ
\theta\,\!は次のように得られる。
θ
=
π
4
+
ϕ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の主働土圧は次のように得られる。
P
a
=
1
2
γ
t
K
a
H
2
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}
K
a
=
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
受働土圧
P
p
=
γ
t
H
2
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
2
s
i
n
θ
c
o
s
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta +\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。
∂
P
p
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、
θ
\theta\,\!は次のように得られる。
θ
=
π
4
−
ϕ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の受働土圧は次のように得られる。
P
p
=
1
2
γ
t
K
p
H
2
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}
K
p
=
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
ランキン土圧とクーロン土圧は一見違う理論のように見えるが、実は同じである。ただし、適用できる対象がやや異なるので下に表にしてまとめた。

ランキン土圧とクーロン土圧の違い
　 壁体との摩擦 壁体の形 地盤の形 土材料 土の内部摩擦
ランキン土圧 考慮しない 考慮しない 考慮しない c,
ϕ
\phi 材 考慮する
クーロン土圧 考慮する 考慮する

極限定理(きょくげんていり,英: limit theorems)とは塑性変形における極限解析の基礎となる定理で、上界定理（じょうかいていり、Upper bound theorem）と下界定理（かかいていり、Lower bound theorem）がある。また、確率・統計学では、中央極限定理がある。中央極限定理の特別な場合が、Laplaceの極限定理（ラプラスの定理）である[1]。

上界定理と下界定理により定式化された極限解析から、極限荷重の上界値と下界値をそれぞれ求めることができる。もし、極限荷重の上界値と下界値が一致すれば、それが真の極限荷重となる。構造が複雑になり、極限荷重の上界値と下界値が一致しなくても、真の極限荷重はそれらの間にあることが分かるので、およその値は推測できる。

物体力をfi 、応力境界面の表面力をTi 、変位速度を
u
˙
i
{\displaystyle {\dot {u}}_{i}}、ひずみ速度を
ε
˙
i
j
{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{ij}}とする。

外力（fi , Ti ）との仕事率が正となる、変位速度境界条件と変形の適合条件を満たす（運動学的に許容な）
u
˙
i
,
ε
˙
i
j
{\displaystyle {\dot {u}}_{i},{\dot {\varepsilon }}_{ij}}について、以下の式を与える。

α
{
∫
V
f
i
u
˙
i
d
V
+
∫
S
σ
T
i
u
˙
i
d
S
}
=
∫
V
σ
i
j
ε
˙
i
j
d
V
{\displaystyle \alpha {\Bigl \{}\int _{V}f_{i}{\dot {u}}_{i}dV+\int _{S_{\sigma }}T_{i}{\dot {u}}_{i}dS{\Bigr \}}=\int _{V}\sigma _{ij}{\dot {\varepsilon }}_{ij}dV}
このとき、αは真の崩壊荷重係数α* の上界値を与える。すなわち、

α
≥
α
∗
{\displaystyle \alpha \geq \alpha ^{*}}
となる。ただし、応力σij は、与えられたひずみ速度
ε
˙
i
j
{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{ij}}に対して、直交則を満たす応力場である。

上界定理による極限解析は、運動学的制約条件（変形の適合条件と流れ則）と外力仕事率が 1 であるという条件の下で、内部消散率を最小化する最適化問題に帰着する。

与えられた荷重系について、釣り合い式と応力境界条件を満たす（静力学的許容な）応力場が、降伏条件を破らない（静力学的可容な）とき、荷重係数は真の崩壊荷重係数の下界値を与える。すなわち、

α
≤
α
∗
{\displaystyle \alpha \leq \alpha ^{*}}
となる。ここで、αは荷重係数、α* は真の崩壊荷重係数である。

下界定理による極限解析は、静力学的制約条件(力の釣り合い式と降伏条件)の下で、荷重係数を最大化する最適化問題に帰着する。

モール・クーロンの破壊規準（モールクーロンのはかいきじゅん、英: Mohr-Coulomb yield criterion）とは、土の破壊基準の一つである。三軸圧縮試験などで、異なる拘束圧条件下におけるモールの応力円を描いて、その包絡線を見ると近似的に直線と見なすことができる。もし、その包絡線を超えてしまうと土は破壊する（実際には超えることはできない）。モール・クーロンの破壊規準は、モールの破壊規準、クーロンの破壊規準が合わさったものである。

土に対し、一面せん断試験を実施する。一面せん断試験において、計測される応力はそのまま土のせん断面における応力状態と見なすことができる。垂直応力σを変えて複数試験を実施し、破壊時に計測されたせん断応力τと垂直応力σをプロットすると、図のように概ね直線上にプロットがとれる。これがクーロンの破壊規準である。なお、土はこの線より上に応力状態をとることができない。

土に対し、三軸圧縮試験を実施する。三軸圧縮試験では、最大主応力と最小主応力を計測することが可能であり、拘束圧をいくつか変えて複数試験を実施し、破壊時に計測された最大主応力と最小主応力をプロットし、モールの応力円を描くと図のような包絡線を描くことができる。これがモールの破壊規準である。不飽和な土や過圧密状態にある土に対して試験を行った場合、図のように包絡線が曲線となる。クーロンの破壊基準と同様に、土はこの線より上に応力状態をとることができない。

飽和土に対し、三軸圧縮試験を実施し、モールの破壊規準と同様にモールの応力円を描くと図のように包絡線が直線となる。この直線をモール・クーロンの破壊包絡線と呼び、クーロンの破壊規準で得られた直線と同じ意味を持つ。このように、モールの応力円の包絡線から、クーロンの破壊規準と同様の直線を引いて破壊規準を定めたものを、2つの破壊規準をあわせてモール・クーロンの破壊規準と呼ぶ。

なお、この直線をせん断応力τ、垂直応力σ、内部摩擦角φ、みかけの粘着力 c を用いて次のように示すことができる。

τ
=
c
+
σ
tan
⁡
ϕ
{\displaystyle \tau =\mathrm {c} +\sigma \tan \phi \,\!}

図より、以下の関係が成り立つ。

σ =
σ
1
+
σ
3
2
−
σ
1
−
σ
3
2
sin⁡ϕ τ =
σ
1
−
σ
3
2
cos⁡ϕ{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\frac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}-{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}\sin \phi \\\tau &={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}\cos \phi \end{aligned}}}
これらをモール・クーロンの破壊包絡線

τ
=
c
+
σ
tan
⁡
ϕ
{\displaystyle \tau =\mathrm {c} +\sigma \tan \phi \,\!}
に代入すると破壊基準の主応力表示として次の式が得られる。

σ
1
−
σ
3
=
2
c
cos
⁡
ϕ
+
(
σ
1
+
σ
3
)
sin
⁡
ϕ