多面体定理

ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーガウスに始まる位相幾何学は高々 250 年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である。

多面体の頂点、辺、面の数を各々 n0, n1, n2 とおくと、これらが n0 − n1 + n2 = 2 の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポワンカレの一連の研究による[5]。

ポワンカレは 1895 年の論文「Analysis Situs(英語版)」の中で、ホモトピーおよびホモロジーの概念を導入した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。

現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立された集合論を大きな基盤として成り立っている。集合論の祖のひとりであるゲオルク・カントールフーリエ級数の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。

カントール、ボルテラ、アルツェラ(英語版)、アダマールアスコリ(英語版)、らの研究を取りまとめる形で(今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている)距離空間の概念を確立したのはフレシェで、1906 年のことである。「位相空間」という用語を導入したのはハウスドルフで、1914 年に今日ではハウスドルフ空間と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、クラトフスキーの手による。