幾何化予想の証明の最も重要なステップである特異点を制御する方法

まず、3-次元多様体の基本モデルへの分解は、埋め込まれている 2-次元球面に沿って 2つの成分へと切り開くことである。結果として現れる縁(edge)は 2-球面 (two spheres) であり、ここで各々を一つの 3-球体へ貼り合わせ、再び各々の成分が境界を持たないようにする。

この 2-球面に沿った分解を通し、既約な成分へと到達することができる。 このことは、全ての埋め込まれた 2-球面は、一つの 3-球体の縁であり、従って、さらに分解すると加えられていた を次々と省略できることを意味する。既約成分への分解は、加えられる や加える順序は一意に決まることを示すことができる。

の形をした規約成分が有限群である基本群を持つと、この成分はこれ以上には分解されない.他の成分は、全てが一意的にアトロイダル(英語版)(atoroidal)[5]となるか、またはザイフェルトファイバー(英語版)(Seifert fibered)多様体[6]になるまで、トーラスに沿って分解することができる。この分解をジャコ・シャーレン・ヨハンソン分解[7]、短くはJSJ分解(英語版)(JSJ decomposition)と言う。

この方法により、分解を逆にたどると(連結和(connected sum)[8]とトーラスを貼り付けることにより)、全ての 3次元多様体を再び得ることができる。従って、3次元多様体の分類は、JSJ分解の基本ブロックを理解すれは十分であることがわかる。すなわち、既約多様体は、有限群を基本群としてもつもの、ザイフェルトファイバー空間とアトロイダル(atoroidal)な多様体である。

サーストンの言う「基本モデル」の意味は、どの点をとってもその近傍は同じ幾何学構造をもっている抽象的な空間(基本成分)を意味し、トポロジーはできるだけ簡単な形とすることでもある。詳しくは、完備で単連結なリーマン多様体 で、等長写像 を持っている。今述べた閉多様体(closed manifold)の幾何学は、さらにすくなくともこの幾何学を持ったコンパクト多様体であること、すなわち、部分群 が存在し、 がコンパクトであることが要求される。

2次元では、そのような幾何学的モデルは、3つのモデルへと分類される。一つは、ユークリッド平面 (コンパクトな商空間としては、2-トーラスである)。第二番目は、2次元球面 であり、2次元球面はコンパクトである。双曲平面 が、第三番目の幾何学的モデルである。全ての種数 の曲面は、双曲曲面のコンパクトな商空間として表すことができる。

ところで、これらの空間はどこでも同じように見えるとすると、全ての点で等しく曲がっている必要がある。2次元では、曲率(つまりスカラー曲率、もしくはガウス曲率)が一つしかないので、(スケーリングを除き)定数スカラー曲率により分類すると、2次元のモデルの幾何学は、 0, 1, -1 の 3つ以外には存在しないことがわかる。

2次元で曲率で分類できたことと同様に、3次元では、それぞれ、定数(0, 1 正, -1 負)の断面曲率を持つことに対応するモデルが、下記のように存在する。

ユークリッド空間
3-球面 (4次元球体の表面)
双曲空間

しかし、以上の分類に加え、3次元の場合の幾何学モデルは他にも存在する。この理由は、スカラーだけでは局所領域での形や平面上の点での曲率を決定できず、曲率がその点での平面通過方向へ依存するからである。すなわち、このことを説明するには、別の 3次元モデル

2-球面と直線との積
を考える必要があるからである。

この空間は 3次元ユークリッド空間の中では表現することができないが、次のように想像することは可能である。3次元空間は、玉ねぎのように増加する半径を持つネストした 2-球面である。ここでネストした球面の半径が増加せず、内側や外側へいっても半径が定数 1 であることを想像すると、求める空間が得られる。代わりに、2球面が途切れることなく直線に沿って並んでいると想像することも可能である。

この空間の中では、球面上を経線や緯線に沿った方向にも動くことができるし、それらとは垂直に直線方向へも移動することができる。球の接平面方向の曲率は 1 であるが、直線方向の平面の曲率は 0 である。

双曲平面と直線の積についても同じ構造であることがわかる。


ここでは、考えている方向に対して、曲率が -1 と 0 である。

2つのモデルの積の計量は、等質的(homogeneous)であるが、等長的(isotropy)ではない。全ての点は「等しい」が、しかし固定点では平面が他のレイヤとは異なっている。数学的には、このことは等長(isometry)群は点の上では遷移的(transitive)であるが、座標軸(点の上で法線方向と接平面方向のベクトルの三つ組)に対しては遷移的ではないことを意味する。

結局、3つのリー群の構造を持つ他の幾何学モデルが存在する。これらは、

幾何学の構造、特殊線型群 の普遍被覆である。
Nil-幾何学(英語版)(Nilmanifold)
Sol-幾何学(英語版)(Solvmanifold)
これら 3つの全ては、行列群の上の計量で記述され、群全体 は行列式の値が 1 である可逆な 2 × 2 行列の群である。Nil-幾何学は、上三角行列で対角要素 3 x 3 が 1 であるべき零な上の幾何学であり(ハイゼンベルグ群も参照)、Sol-幾何学は、上三角な 2 × 2 行列の全てからなる群(可解群)である。

リー群のように、これらの群は作用素の下での不変な計量を持っており、従って、等質である。

群 は、単連結空間ではないので、普遍被覆へいくこととなる。このことは、局所的な性質の差異をなくすることから、 は、基本モデルであるといわれる。

上の計量は、次のように記述される。 を実メビウス変換の群であり、等方的な双曲平面は、 である。 の等方性は、 を適用して選択された統一した接ベクトルの像により一意に決まる。すると、長さが 1 である接ベクトルの空間 は、誘導された計量 を持つことになる。結局、このように構成された 上の計量は、普遍被覆 上の計量を導く。

この観察は、 、つまり、標準化された接バンドルである閉じた双曲曲面をもつ 3-多様体の例となっている。

全ての 3次元の基本モデルの幾何学がこれらで記述されることを証明するには、等長群(isometry group)の安定化を使い証明する。安定化するとは、ある点を固定するモデルの等長変換全体のなす群である。ユークリッド空間の場合に、サーストンは、直交群 O(3) の例、従って、3次元の例を構成した。一方、 方向との積の幾何学では、安定化は SO(2) の 1次元の部分集合に相当する。安定化する次元の大きさは、モデルの対称性によって決定される。

ファイバー構造(英語版)(fibration)を見つけ出すことで、さらに厳密化でき、ファイバー構造は等長群の下に不変であり、ファイバーは安定化自身により写像されることがわかる。ファイバー構造のような積の幾何学では、与えられた断面 や により、簡素化される。いづれの場合も、そのようなファイバーは必然的に 2次元のモデルとなるので、次のような一覧表を得る。

幾何学モデル
安定化次元
構造
(断面)曲率
 ユークリッド空間  
 3-次元
 イソトロピック
 0 (平坦)
 3-球面
 3-次元
 イソトロピック
 1 (正)
 双曲空間
 3-次元
 イソトロピック
 -1 (負)
 
 1-次元
  上のファイバー 
 ファイバー方向の曲率 1、直交方向の曲率 0 
 
 1-次元
  上のファイバー
 ファイバー方向の曲率 -1、直交方向の曲率 0 
 Nil-幾何学
 1-次元
  上のファイバー
 ファイバー方向の曲率 0、直交方向の曲率 1
 
 1-次元
  上のファイバー
 ファイバー方向の曲率 -1、直交方向の曲率 1
 Sol-幾何学
 0-次元
  上のファイバー
 ファイバーと直交する方向の

上に述べた多様体の分解から得られる結果は、局所的には、8つのモデルのうちのひとつに対応する計量を選び出すことができるということである。このことを、多様体の幾何化と呼ぶ。例えば、平坦なトーラスとユークリッド平面は、ともに平坦であり、基本幾何学モデルである。

サーストンは、3次元多様体の研究を集中的に行い、上の意味で 3次元多様体の多くが幾何化可能であることを発見した。

とりわけ、彼はハーケン多様体(英語版)(Haken manifold)[9]でこのことを示し、1982年にはこれによりフィールズ賞を受賞した。この研究に基づいて、彼は全ての閉じた 3次元多様体が幾何化可能であろうと予想した。このことをサーストンの幾何化予想(Thurston's geometrization)と言う。

3次元多様体は、8つの幾何学モデルのうちのひとつへ帰着できることは、3次元多様体トポロジーへ重要な結論をもたらす。モデルは双曲的(hyperboloc)や球面的(spherical)なファイバー構造だけはなく、多様体はザイフェルトファイバー(英語版)の構造を持つことがある。ザイフェルト多様体トポロジーは、よくわかっている。これらの基本群は、例えば、いつも 2-トーラスの基本群 の部分群に同型であり、次のように幾何化を定式化できる。

 


いまのところ、球面的な多様体と双曲的な多様体に対し、多くの可能性があり、これらを完全には分類しきれてはいない。しかしながら、性質の多くが理解され、分類は純粋に群論的な問題となっている(すなわち、 や 、従って や の等長群の全ての自由な離散部分群(discrete subgroups)を決定する問題となっている)。

幾何化の定式化からは、楕円化予想(英語版)(Elliptization conjecture)、または、球面化予想(Sphericalization conjecture)が予想としてある。


さらに双曲化予想(hyperbolization conjecture)が、予想となる。(双曲化定理(英語版)(Hyperbolization theorem)を参照。)


一方、幾何化予想の特別な場合として、良く知られているポアンカレ予想がある。

2次元の閉多様体の幾何化は、古くから知られている。曲面分類では、2-球面 の幾何学ガウス・ボネの定理により、球面幾何学のみであり、2-トーラス はユークリッド幾何学で、高い種数の曲面は全て双曲的である。

リチャード・S・ハミルトンは、1980年代に最初にリッチフローを使い、幾何化予想を証明しようとした。彼は、正のリッチ曲率の多様体に対しては成功し、そのような多様体の上ではリッチフローは非特異となることを示した。

グリゴリー・ペレルマンは、2002年と2003年の論文を提出し、幾何化予想の証明の最も重要なステップである特異点を制御する方法があることを発見した。ペレルマンの仕事は未だに正式な雑誌には出版されていないが、多くの数学者が本質的なものと扱っていて、大きな誤りや省略がないことを認めている。このため、ペレルマンは2006年にフィールズ賞を受賞したが、彼は受賞を拒否した。

^ ベルンハルト・リーマンの考察を受け1907年、アンリ・ポアンカレパウル・ケーベがそれぞれ独立に証明。
^ 全ての3次元多様体が幾つかの素な多様体に分解できることは1929年にヘルムート・クネーザーにより証明されていた。
^ 熱はスカラー量だが曲率は行列で表される。
^ 曲率は滑らかな多様体上でしか定義できないのでは滑らかでない多様体ではそもそもリッチフローを考えることができない。ただしどんな多様体にもそれと同相な滑らかな多様体が存在することが示されているため滑らかな多様体だけ考えても差し支えない。この事実はエドウィンモイーズ、アーエイチ・ビング、ピーター・シェーレンらによって証明された。3人ともポアンカレ予想を解決しようとして結局それがかなわなかった数学者である。
^ アトロイダルな 3-多様体(atroidal 3-manifold):アトロイダルな 3-多様体とは、トーラスをもともと含まない 3-多様体をいう。用語には 2つの主要な用法があり、ひとつは、トーラスを境界のない収縮できない状態で埋め込むことができる場合をいうときと、代数的に基本群の部分群 として定義する場合がある。基本群の部分群というときには、周辺部分群(つまり、境界要素の包含関係による基本群の写像の像としての群)と共役でないものとする。用語は標準的ではなく、著者によりアトロイダルな 3-多様体が満足すべき条件が異なる場合がある。
^ ザイフェルトファイバー空間(Seifert fiber space):ザイフェルトファイバー空間は、共通部分を持たない複数の円の合併として分解する 3-多様体をいう。言い換えると、ザイフェルトファイバー空間は、2-次元のオービフォールド上の -バンドル(円バンドル)である。多くの「ちいさな」3-多様体は、ザイフェルトファイバー空間であり、サーストン幾何化予想の 8つの基本幾何学のうちの 6つに対応するコンパクトな向きつけ可能多様体である。
^ JSJ分解:トーラスにそった分解で、方法は次のようになる。
^ 連結和の図
連結和(connected sum):多様体の変形の方法で、2つの多様体が与えられたとき、互いを選択した点でつなぎ合わせることをいう。この構成は、閉曲面の分類で重要な役割を果たす。(曲面の連結和を参照)

このことを一般化して、右図のように同一な部分多様体に沿って多様体を張り合わせることができる。この一般化はファイバー和とも呼ばれる。結び目和や結び目の合成と呼ばれる結び目の連結和の考え方とも密接に関係する。
^ ハーケン多様体(Haken manifold):ハーケン多様体とは、向き付け可能でコンパクトな既約 3-多様体で、両サイドで収縮不可能な曲面を埋め込むことができるようなものをいう。時には、ハーケン多様体がコンパクトで向き付け可能な既約 3-多様体であり、単に向き付け可能な収縮不可能な曲面を持つような多様体を言うこともある。 3-多様体がハーケン多様体により有限被覆される場合を、仮想ハーケン多様体(virtually Haken)という。仮想ハーケン予想は、すべてのコンパクトな既約な無限基本群を持つ 3-多様体は、仮想ハーケン多様体であるという予想である。 ハーケン多様体はウォルフガング・ハーケン(Wolfgang Haken)により1961-2年に、ハーケン多様体は階層を持っていて、そこでは収縮不可能な曲面に沿ってハーケン多様体が 3-球体へ分解することができることを証明した。 ハーケンは、収縮不可能な曲面をひとつ持つ場合は有限解の操作で収縮不可能な曲面を見つけることができることも示した。