メビウス群 PSL(2,C) はミンコフスキー空間に原点、空間の向き、時間方向を全て保存する等距変換全体の成す群として作用する。

既に見たように、また、この作用を正光錐における Q = 1 なる点の全体(これは三次元双曲空間 H3 のモデルを為す)に制限することにより、メビウス群を各元が H3 に向きを保つ等距変換として作用する群として捉えることができる(実際には、メビウス群と三次元双曲空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群とは一致する)。

ポアンカレ球体模型を用いて、R3 における単位球体と H3 とを同一視するならば、リーマン球面を H3 の「共形的境界」として考えることができる。これにより、どのような H3 の向きを保つ等距変換からでもリーマン球面上のメビウス変換がえられ、逆にメビウス変換から向きを保つ等距変換もまた同様に得られる。このことは、物理学におけるAdS/CFT対応予想へ至るまさにその最初の所見である。

メビウス変換の係数 a, b, c, d が ad − bc = 1 を満たす実数である場合を考えると、PSL(2, R)で表されるメビウス群の部分群が得られる。この群は、上半平面 H = {x + iy | y > 0} をそれ自身へ写すメビウス変換全体の成す群であり、また Hから H への双正則(あるいは同じことだが、全単射等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群である。上半平面に計量を導入して、双曲平面 H2の模型(ポアンカレ平面模型と呼ばれるもの)にすることができるが、このとき PSL(2, R) はこの模型において H2 の向きを保つ等距変換全体の成す群に等しい。

開円板 D = {z | |z| < 1} をそれ自身に写すメビウス変換全体の成す部分群は、φ ∈ R, b ∈ C, |b| < 1 なる定数によって得られる


なる形の変換全体から成る。これはまた、D から D への双正則(あるいは同じことだが、全単射、等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群にも等しい。適当な計量を入れることにより、Dはポアンカレ円板模型と呼ばれる先程のものとは異なる双曲平面の模型にすることができるが、この群は、この模型における H2 の向きを保つ等距変換全体の成す群に一致する。

本節に述べたふたつの部分群は、何れも H2 の等距変換群としてえられるから、これらは互いに同型である。具体的な同型写像は、開円板を上半平面に全単射に写す変換


と共軛変換によって得られる。

メビウス群 の極大コンパクト部分群は


で与えられる[2]。この部分群は、同型 を通じて、射影特殊ユニタリ群 PSU(2, C) に同型で、この群は 3-次元における回転全体の成す群である特殊直交群 SO(3) にも同型なので、メビウス群の極大コンパクト部分群をリーマン球面における回転全体の成す群として解釈することができる。任意の有限部分群は共軛変換でこの極大コンパクト部分群の中に写され、それゆえそれらの群はちょうど多面体群、三次元における点群に対応する。

メビウス変換からなる正二十面体群(英語版)はクラインによって (Klein 1888) において五次方程式の解析解を与えるために用いられた(現代的な解説が (Tóth 2012) にある[3])。

さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc= 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。
 共形幾何学
クライン群
広義の円
射影幾何学
双曲幾何
線型写像
反転環幾何
反転幾何学
反転変換
フックス群
ポアンカレの上半平面モデル
モジュラー群
リー球面幾何学(英語版)
ローレンツ

幾何学的には、この写像は周期 4 を持つ ±1 周りの 90°-回転を立体射影したもので、0 を 1 に、1 を ∞ に、∞ を −1 に、−1 を 0 に移す。

Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987), Complex Functions: an Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-31366-7 - ガロア群として見たローレンツ群とその同型に関しては第2章を参照。
Hall, G. S. (2004), Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore: World Scientific, ISBN 981-02-1051-5 - ローレンツ群のリー代数におけるリー部分代数および共役に関する類別に関しては第6章を参照。
Katok, Svetlana (1992), Fuchsian Groups, Chicago:University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 - 第2章を参照。
Klein, Felix (2003) [1888], Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, Dover Publication, ISBN 978-0-486-49528-6クライン, フェリックス 『正20面体と5次方程式』 関口次郎訳、シュプリンガー・フェアラーク東京シュプリンガー数学クラシックス〉、1997年4月。ISBN 978-4-431-70692-2。
クライン, フェリックス 『正20面体と5次方程式』 関口次郎・前田博信訳、シュプリンガー・フェアラーク東京シュプリンガー数学クラシックス 第5巻〉、2005年10月、改訂新版。ISBN 978-4-431-71118-6。
Knopp, Konrad (2016) [1952], Elements of the Theory of Functions, New York: Dover Publication, ISBN 978-0-486-60154-0 - リーマン球面・立体射影・メビウス変換に関する美しい導入方法についてはこの古典的書籍の第3章から第5章を参照。
Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2015) [2002], Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-56474-9 - 非数学者向け。図形のイラストが豊富で、理論と結果に関する優れた解説を提供している。マンフォード, D.、シリーズ, C.、ライト, D. 『インドラの真珠 クラインの夢みた世界(英語版)』 小森洋平訳、日本評論社、2013年3月。ISBN 978-4-535-78361-4。
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Tóth, Gábor (2012) [2002], Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli, Springer, ISBN 978-1-4612-6546-7