群の可解性は多くの操作によって保存される。バーンサイドの定理は、p,qを素数、a,bを非負整数として、Gの位数が p a q b p^a q^b\ である場合、Gは可解群である、というものである。において、各GiはGの正規部分群であり、 は巡回群であるようなG1,...,Gnが存在するとき、Gは超可解群であるという。

群の可解性は多くの操作によって保存される。

Gが可解群であり、全射準同型G→Hが存在する場合、Hも可解群である。第一同型定理より同値であるが、Gが可解群でNがGの正規部分群であれば、商群G/Nは可解群である[5]。
上の性質は次のように拡張できる: Gが可解群であるのは、NとG/Nがともに可解群であるとき、およびその時に限る。
G が可解群であり、HがGの部分群であるとき、Hは可解群である[6]。
GとHが可解群であるとき、直積G × Hは可解群である。
可解性は群の拡大によっても保存される。

HとG/Hが可解群であれば、Gは可解群である。特に、NとHが可解群であれば、NとHの半直積も可解群である。
可解性は輪積(リース積)によっても保存される。

GとHが可解群であり、XがG-集合である場合、Xに関するGとHのリース積は可解群である。
任意の正の整数Nに対して、derived lengthが高々Nの可解群すべての集合は群全体の成す等式クラス(英語版)の部分等式クラスであり、準同型の像、部分代数、直積をとる操作によって閉じている。有界でない長さの導来列を持つ可解群の直積は可解群ではないので、すべての可解群からなるクラスは等式クラスではない。

バーンサイドの定理は、p,qを素数、a,bを非負整数として、Gの位数が


である場合、Gは可解群である、というものである。

フェイト・トンプソンの定理(奇数位数定理)によればすべての奇数位数の有限群は可解群である。特に、有限群が単純群であれば、それは素数位数の巡回群か偶数位数である。

有限単純群の外部自己同型群は可解群である。

可解性よりも強い条件として、群Gは不変正規列(英語版)(連正規ではない正規列)を持ち、その因子群がすべて巡回群であるとき、超可解群(supersolvable group)であるという。つまり、


において、各GiはGの正規部分群であり、 は巡回群であるようなG1,...,Gnが存在するとき、Gは超可解群であるという。 正規列はその定義より有限の長さを持つので、非可算の群は超可解群ではない。実際、すべての超可解群は有限生成であり、アーベル群は有限生成であるとき、およびその時に限り超可解群である。交代群A4は可解群であるが超可解群ではない群の例である。

有限生成群に限って議論すれば、群のクラスには以下のような強さの関係がある(右側ほど強い条件である):

群Gは、有限指数の可解部分群を持つとき実質的可解群(virtually solvable group)と呼ばれる。これは実質的アーベル群(英語版)と似た語法である。すべての可解群は当然実質的可解群である。なぜなら指数1の可解部分群(自分自身)が存在するからである。