K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の(それを一次式の積に分解することができるという意味で)分解体となっているとき、L は K の正規拡大であると言う。

抽象代数学において、与えられた多項式の分解体(ぶんかいたい、英: splitting field)とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数(英語版)が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

体 K 上の多項式 p(X) の(最小)分解体とは、Kの拡大 L であって、L において p が一次因子 (X− ai) ∈ L[X] の積


に分解され、なおかつ L がこれら根 ai によって K 上生成されるときに言う。したがって拡大体 L は p が分解するような K の拡大体の中で、拡大次数(英語版)が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができる。そのような同型の取り方の自由度は、多項式 p のガロワ群と呼ばれる(p は分離的であるものとする)。

実数体 R 上の二次式 x2 + 1 の分解体は複素数体 C である。
有理数体 Q 上の二次式 x2 − 2 の分解体は二次体 である。
素数 p とそのべき q = pn に対して、素体GFp 上の多項式 xq − x の分解体は有限体 GFqである。

例えば、K が有理数体 Q であり、

P(X) = X3 − 2
のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。 従って、


であり、L は K = Q の6次拡大である。ここで、


は、1 の立方根である。

標数 7 の素体 GF7 上の二次式 x2 + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF49 である。−1 は GF7 上平方根を持たないからである[1]。
GF7 上の二次式 x2 − 1 の分解体は、GF7 である。 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF7 で一次式の積に因数分解できるからである。

K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の(それを一次式の積に分解することができるという意味で)分解体となっているとき、L は Kの正規拡大であると言う。

K を含む代数閉体 A を固定して考えるとき、拡大 A/K の中間体で K 上の多項式 p の分解体となるものがただ一つ存在し、それは p の A における根を K に全て添加して得られる体に他ならない。K が複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。

K の分離拡大 K' に対し、K' のガロワ閉包 (Galois closure) L は分解体の一種で、K の K' を含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元 a ∈ K' の K 上の最小多項式として得られる全ての K-係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。