外積代数

微分多様体上、外微分(がいびぶん、英: exterior derivative)は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。

k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。

微分 d は以下の性質を満たす k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像として定義される:

滑らかな関数 f に対して d(f) := df は f の微分である。
任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)p(α ∧ dβ) である、ただし α は p-形式とする。つまり、d は微分形式のなす外積代数上次数 1 の反微分である。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ: 実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0(より簡潔には、d2 = 0)である。三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα であるということを含んでいる。なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。

数学におけるベクトルの外積(がいせき、英語: exterior product)あるいは楔積(くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product)はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積ユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。

外積代数(がいせきだいすう、英語: exterior algebra)は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数(グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra)[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学代数幾何学において広く用いられる。

形式的には、外積代数は ⋀(V) あるいは ⋀*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、楔積あるいは外積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。楔積は結合的で双線型な乗法


であり、本質的な性質として V 上の交代性


を持つものである。これは以下の性質



をも特別の場合として含む[2]。

圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。

 

これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数(テータかんすう、英: theta function)は、


で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τの関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数は次のように定義される関数のことを指す[1]。


テータ関数を z の関数と見た場合、周期 1 の周期関数である[2]。


一般には以下の等式を満たす[2]。

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テータ関数
 
テータ関数(テータかんすう、英: theta function)は、


で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τの関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。
 
テータ関数の定義編集
テータ関数は次のように定義される関数のことを指す[1]。


テータ関数を z の関数と見た場合、周期 1 の周期関数である[2]。


一般には以下の等式を満たす[2]。


 
ヤコビのテータ関数の定義編集
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す[3]。


ただし、 は補母数、 は 第1種完全楕円積分、 はヤコビのツェータ関数[4]


はヤコビのイプシロン関数、 は第2種完全楕円積分、 , は ヤコビの楕円関数、 は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数[3]


を含めて、 , , , のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある[5]。ただし、 である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている[5]。


ただし、 は、楕円関数の基本周期の半分で、 である( , が楕円関数の基本周期に相当する)[6]。

物理の教科書[7]では後述の をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ[8]。


なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない[9]。 この記事で使われているのは、Mumford 2006 で使われているのと同じ定義である[9]。

 

 

hocは「これ」「この」という意味で、英語では「for this」に相当することになる。

アドホックad hoc)は、「特定の目的のための」「限定目的の」などといった意味のラテン語の語句である。 ad hocのadは「~へ」「~について」、hocは「これ」「この」という意味で、英語では「for this」に相当することになる。

ヨーロッパ諸語では様々な語句と組み合わせて用いられている。

上記級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する(s = 1 のとき調和級数である)が、解析接続によって s = 1 を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。

数学におけるリーマンゼータ関数(リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function)とは、


で表される関数 ζ のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数とも呼ばれる。

ガンマ関数を用いれば、リーマンゼータ関数


とも定義できる。

すでにオイラーがこの関数を考察して主に特殊値に関する重要な発見をしていたが、のちにより重要な貢献をしたリーマンが用いたギリシャ文字の ζ による表記に因み、リーマンゼータ関数と呼ぶ。上記級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する(s = 1 のとき調和級数である)が、解析接続によって s = 1 を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。

クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量(不変式)を扱うものだと定義した。

エルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム(独: Erlanger Programm, 英: Erlangen program)とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある[1]。

クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量(不変式)を扱うものだと定義した。例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。

この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学とは相性が悪かった。

何故なら、クラインの定義だとリーマン計量の下では恒等変換以外に不変量を取り出せないため、全ての図形が自分自身とのみ関係することとなって、幾何学の成立する余地がなくなってしまうからである。この問題は20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによって両者のギャップを埋める方向に拡張された。したがって現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。

 

有理数体上定義される各楕円曲線がモジュラー形式に(付随する L-函数を保つように)翻訳することができることを示唆する(今ではモジュラー性定理となった)谷山・志村予想。バウム=コンヌ予想は、K-理論の同型予想として知られるほかの一連の予想の一つとなっている。

よく知られた例は、有理数体上定義される各楕円曲線がモジュラー形式に(付随する L-函数を保つように)翻訳することができることを示唆する(今ではモジュラー性定理となった)谷山・志村予想である。これを同型を以って同一視することは、厳密な意味をどう定めても、困難である。ある種の曲線が、(種数 1 の)楕円曲線にもモジュラー曲線にもなることは、予想が定式化される(1955年ごろ)には既に知られていた。この予想の驚くべき部分は、それが種数が 1 より大きい楕円曲線ヤコビアンの因子への拡張である。予想が明確に述べられる以前であれば、そのような有理因子が「十分に」存在することは恐らく尤もらしく思われなかったであろう。そして事実、表がそれを裏付けし始める1970年頃になるまで、数値的な証拠は省みられることは無かった。予想の一部、虚数乗法を持つ楕円曲線の場合については、1964年に志村によって証明されている。この予想は、それが一般に証明されるよりも何十年も前から、正しいと信じられていた。

実は、ラングランズプログラム(ラングランズ哲学)は、予想を統一する網に近い存在である。これは、保型形式の一般論はラングランズの導入したL-群によって統制されるということを実際に仮定する。ラングランズのL-群に関する「函手性原理」は、保型形式に関する既知の種類の「持ち上げ」(現在ではより広く保型表現論として研究される)についての非常に大きな説明的価値を持つ。この理論は、ある意味で谷山・志村予想に近い関係があるのだけれども、同予想とは実際には反対方向の操作であると理解されるべきものである。こちらは(非常に抽象的な)モチーフの圏に属する対象から始めて、保型形式の存在を要求する。

関連するほかの特徴的な点は、このラングランズのやり方が、(フーリエ級数としての楕円モジュラー函数と、モンスター群や他の散在群の表現との間の関係を示す)ムーンシャイン現象によって引き起こされた全体的な展開から距離を置くものであることである。ラングランズ哲学は、予兆されたものでもこの系統の研究に含まれうるものでもなかった。

十分な展開がされているとまではいえないが数学の広い範囲をカバーしているもう一つのケースとして、K-理論の一部である予想基底が挙げられる。今では長期にわたる問題となったバウム=コンヌ予想は、K-理論の同型予想として知られるほかの一連の予想の一つとなっている。その中にはファーレル=ジョーンズ予想やボスト予想などが含まれる。

これらの理論は以下のような概念を含む:

デカルト幾何学
微分積分学
複素解析
ガロア理論
エルランゲンプログラム
リー群
集合論
ヒルベルト空間
計算可能関数
特性類
ホモロジー代数
ホモトピー理論
グロタンディークのスキーム
ラングランズプログラム
非可換幾何学

超ラングランズ予想。同様に一見偶然とも思える(この場合、ある種の群の数論的結果と表現論的結果の間の)類似性から始めて、両者の結果が系として得られるような構成が予見される。

数学の統一理論(すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics)に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。偉大な数学者のあるもの[誰?]は、すべての主題(科目)は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いている。

統一化のプロセスには、統制のための規律として「数学を構成するところのものは何であるのか」を定義することが一つの助けとなる。

例えば、力学と解析学微分方程式の概念によって結びつけられ、一般に一つの主題として統合されたのは18世紀のことである(一方、代数学幾何学は大いに異なるものと考えられていた)。 現在では、解析学代数学幾何学は数学の一部であると考えられているが、力学はそうではない。これは、前者が主として演繹的な形式科学であるのに対し、後者は物理学がそうであるように観察から始まるものでなければならないことによる。古い意味での解析力学は、現在は(より新しい多様体論に基づいて)シンプレクティック幾何学の言葉で表されるが、それによって大きく内容が損なわれることは無い。

数学における「理論」という術語は、定義、公理、定理、例といったようなものの首尾一貫した組織的な集まりを表すのに(必ずしも厳密にそう定義されているわけではないが)用いられる(用例としては、群論、ガロワ理論、制御理論、K-理論などが挙げられる)。特に、数学的な理論には「仮説的」な含みは存在しない。従って「統一理論」の語は数学用語というよりは、むしろ数学者の活動を研究するために用いる社会学用語に近いものである。また、数学的な理論では、未知の科学的なつながりに類する憶測的なことも全く無いと仮定できる。数学においては、言語学における世界祖語やガイア仮説のような概念にも似たようなものは存在しないのである。

にもかかわらず、数学史において「個別の定理の集まりと看做されていたものが、一つの統一的な結果の特別の場合であることがわかった」とか「数学のある領域での発展が、その主題のほかの複数の分野に忠実に応用されるとき、どのように進展するかということについての一つの大局観」とかいった逸話がいくつも知られている。

よく知られた例は解析幾何学の開拓である。デカルトフェルマー等の数学者の手によって、特別な種類の曲線や曲面についての多くの定理が、(当時は新しかった)代数的な言葉で記述することができて、そのどれも同じ手法を用いて証明することができるということが示された。つまり、それらの定理は幾何学的解釈は異なるとしても代数学的には非常に似通っているのである。

19世紀の終わりに、クラインは19世紀中に発展した多くの幾何学の分野(アフィン幾何学、射影幾何学、双曲幾何学など)はすべて一様な方法で扱えることを注意した。クラインはその作用の下で対象が不変となる群を考えることでそれを成した。この幾何学の統一化はエルランゲン・プログラムと呼ばれる。

20世紀初頭、数学の大部分は、有用な公理の集合を正確に述べ、それらの帰結について研究するという方法によって扱われるようになっていく。従って例えば、四元数学会によって考えられたような「超複素数」の研究は、環論の分野としての公理的な立場(この場合、複素数体上の特定の結合多元環の意味)に基づくものであった。この文脈では、剰余環の概念が最も強力な統一指針の一つになる。

それまでは応用面での要求のために数学の多くがアルゴリズム(あるいはアルゴリズム的なものに近い過程)として教えられていたという意味で、これは方法論の全面的な変更である。算術は未だそのような方法で教えられている。公理的な手法は、数学の独立した分野としての数理論理学の発展と並行するものであった。1930年頃には、記号論理学そのものが数学に十分に含まれるものとなった。

殆どの場合、研究の下にある数学的対象は(非標準的にではあるが)集合として、より厳密に言えば加法演算のような付加的な構造を備えた集合として、定義される。現在では、集合論は数学的な話題を展開するための「共通語」としての役割を果たしている。

数学を公理的に展開するという理念は、数学者集団ブルバキによって熱心に取り上げられた。極端に言えば、ブルバキの姿勢というのは、数学をその最も一般性を持つ形で展開することを要求することである。最も一般の公理系から始めてそれから特殊化を行う、例えば導入は可換環上の加群によって行い、それを実数体上のベクトル空間に制限するのは絶対的に必要となるときのみに限るといった具合である。対象とする定理の主な興味がその特殊化したものにあった場合でさえ、このような話の展開の仕方が貫かれる。

特に、この立場では、(組合せ論のように)研究の対象が非常に多くの場合特殊、若しくはその主題に関するより公理的な分野と表面的にのみ関連するような状況で見つかる、というような数学の分野にはあまり価値を置かない。

圏論は20世紀後半に興った、数学を統一する理論である。この点において、圏論集合論を代替するものであり、かつ補完するものである。「圏論的」な観点からの重要な主題は、数学というものはある種の対象(リー群、バナッハ空間、…)のみならず、それら対象の間の射構造を保つ写像をも要求するということである。

特に、数学的対象に対してそれが「同一」であると考えられるというのがどういう意味であるか(例えば、正三角形はすべて「同一」であるか、あるいはその大きさを問題にするかといったようなこと)を、これにより厳密に明らかにすることができる。マクレーンは、(数学の様々な分野で生じるという)十分な「遍在性」を備えた任意の概念は、それ単独で取り上げてそれ自身を研究するに値するということを提案した。圏論はほぼ確実に現在のほかのどの取り組みよりもこの目的によく適合する。所謂「アブストラクト・ナンセンス」に頼る不利益は、具体的な問題において起源からの繋がりを失うという意味における、ある種の個性の無さおよび抽象性である。にもかかわらず、圏論的手法は(D-加群から範疇論理まで)多数の領域に亘り着実に受け入れられている。

もっと大仰でない規模では、数学の異なる二つの分野における結果の集まりがよく似ているという事例はよくあることで、それらの関係を明らかにする統一的な枠組みがあるかどうかを問題にすることができる。解析幾何学における例は既に述べた。より一般に、代数幾何学の分野において、幾何学的対象(代数多様体あるいはもっと一般のスキーム)と代数的対象(環のイデアル)との関係性が十分に調べられている。ここでの試金石的な結果はヒルベルトの零点定理で、これは大まかに言えば先ほどの二種類の対象の間の自然な一対一対応の存在を示すものである。

他の定理にも、同じ観点で捉えることができるものがある。例えば、ガロワ対応は、ある体の拡大とそのガロワ群の部分群の間の一対一対応の存在を示唆するものである。また、楕円曲線に対する谷山・志村予想(現在はもう証明されている)は、モジュラー形式として定義される曲線と有理数体上で定義される楕円曲線との間の一対一対応を確立した。モンスターのムーンシャインとも渾名される研究領域では、モジュラー形式とモンスターとして知られる有限単純群との間の関係の研究が展開される。そこでは専らそれらの各々についての驚くべき観察に始まって、196884 という全く普通ではない数が非常に自然に生じてくる。ラングランズ・プログラムとして知られる分野では、同様に一見偶然とも思える(この場合、ある種の群の数論的結果と表現論的結果の間の)類似性から始めて、両者の結果が系として得られるような構成が予見される。