ピンクノイズとは、パワーが周波数に反比例する雑音のこと。同じ周波数成分を持つ光がピンク色に見えることからピンクノイズと呼ばれる。いわゆる1/fゆらぎを持った信号源をマクロに見た場合も似た感じになる。

ホワイトノイズ (White noise)[1]とは、ノイズの分類で、パワースペクトルで見ると対象となるそれなりに広い範囲[2]で同程度の強度となっているノイズを指す。「ホワイト」とは、可視領域の広い範囲をまんべんなく含んだ光が白色であることから来ている形容である[3]。派生語のようなものにピンクノイズがあり、周波数成分が右肩下がりの光がピンク色であることによる。よく聞くノイズの例で擬音語で表現するなら、「ザー」という音に聞こえる雑音がピンクノイズで、「シャー」と聞こえる音がホワイトノイズである。

ホワイトノイズは全ての周波数で同じ強度となるノイズである。これはWiener-Khintchineの定理から、自己相関関数がデルタ関数となることと同じである。統計学の言葉で言うと、定常独立であることを意味していて、簡単にいえば非常に不規則なノイズということである。

なお厳密には自己相関関数にデルタ関数といった無限を含むものは実在し得ないので、理想的なホワイトノイズは実在しない。しかし、実用上には有限値の十分理想ホワイトノイズに近いものをホワイトノイズとして扱う。また、近年のオーディオ機器のそれなど、パルス符号変調(PCM)が途中に入っている場合は、0付近〜ナイキスト周波数まで同じ強度となる。

ホワイトノイズならばガウスノイズ(正規分布のノイズ)であるとしばしば誤解されるが、白色という概念とガウス性という概念は異なるものである。しかし、系のモデルで白色とガウス性の2つを同時に仮定することは多い。ホワイトガウスノイズ(白色ガウス雑音)は実世界のノイズとしてよい近似であるからである(中心極限定理)。これらのモデルは加法性ホワイトガウスノイズ (AWGN、additive white Gaussian noise) と呼ばれる。

以下の2つの条件を満たすようなw(t) をホワイトノイズと定義する。



ただし、σ2 は w の分散で、δ はディラックデルタ関数である。1つ目の式は平均ゼロを表している。そして2つ目の式は自己相関は σ2 であり相互相関はゼロであることを表している。

自己相関をフーリエ変換するとホワイトノイズのパワースペクトルが得られる:


パワースペクトルの値はωに依存しないので、全ての周波数で一定の値(白色と呼ぶ)になっている。

また離散化された列としてのホワイトノイズの定義は、同様にベクトルwに対して以下のように定義される。



ただしTは転置を、Iは単位行列である。1つ目の式は平均ゼロを表している。2つ目の式は相互相関行列が、対角成分がσ²でそれ以外はゼロということを表している。

なお、ここではホワイトノイズを実数として考えたが、複素数に対しても定義できる。相関演算の定義に複素共役の演算が入るため、ホワイトノイズの定義もこれに応じてやや変化する。

実際上は正規乱数をホワイトノイズとして利用する。なおこのときガウス性も満たすので、ホワイトガウスノイズとなる。

Excelの分析ツールを用いて、正規乱数を作成することができる。

^ 「白色雑音」などと訳すこともあるが、「ノイズ」という語は音以外のあらゆる信号類に混入する非信号成分を指して使われるため、文脈を見ずに機械的に訳すと誤訳を招く。
^ 理論上、直流から無限大Hzまで全て含む、といったような連続的な信号は存在し得ない(ステップ信号のような一過的現象では異なる)ので、実際の所、可聴域とか可視域などを対象として議論することになる。
^ 人間の視覚の特性上、RGBがあればそれぞれに集中していても白く見せることはできるので、逆は真ではない。

ピンクノイズとは、パワーが周波数に反比例する雑音のこと。同じ周波数成分を持つ光がピンク色に見えることからピンクノイズと呼ばれる。いわゆる1/fゆらぎを持った信号源をマクロに見た場合も似た感じになる。

ピンクノイズの波形は、フラクタル状になっていることが知られている。オクターブバンドと呼ばれる帯域ごとのエネルギーが一様になるため、様々な音響測定に使用される。

ピンクノイズまたは1/fノイズは 、周波密度が周波数の逆数となるような周波スペクトルをもった信号、または過程を指す。ピンクノイズという名前は、ホワイトノイズ(1/f0)とレッドノイズ(またはブラウニアンノイズ、1/f2)の中間であることにちなむ。

科学論文では1/fノイズは、より幅広く、下記式のスペクトル密度を持つ各種ノイズを指す。


ここで、 は周波数で、0<α<2を満たすαは1に近い値をとる。これらの"1/f類似"のノイズは、自然の中に広くみられ、多くの分野において、様々な研究対象となっている。

科学では、ブラウニアンノイズ(  サンプル[ヘルプ/ファイル])はブラウンノイズまたはレッドノイズとしても知られ、ブラウン運動(ブラウニアンモーション)によって生成される信号雑音(シグナルノイズ)を指す。"ブラウニアンノイズ"の名前は色に由来するのではなく、ブラウン運動を発見したロバート・ブラウンの名前にちなんだものである。

ブラウニアンノイズの音声信号を図に表すと、ブラウン運動パターンに類似したものになる。このスペクトル密度は1/f2(fは周波成分)に比例し、ピンクノイズ以上に低い周波数ほど強いエネルギーを持つことを意味する。周波数に対する指数減衰はオクターブごとに6dBであり、音として聞くと、ホワイトノイズやピンクノイズと比べて、減衰した、あるいは柔らかい音質に聞こえる。なお、ブラウニアンノイズとは逆に、オクターブごとに6dBずつ増強するものをパープルノイズ (バイオレットノイズともいう) と呼ぶ。

ブラウニアンノイズはホワイトノイズの積分によっても得られる。つまり、デジタルのホワイトノイズがサンプルを独立かつランダムに選ぶことによって生成できるのに対し、ブラウニアンノイズはサンプル値にランダムな値を加えることによって、次の値を得ることができるのである。

グレイノイズは音響心理学的な等ラウドネス曲線に沿ったスペクトル密度を持つノイズ。(A特性の曲線を反転したような形になる)

その結果、グレイノイズは全ての周波数に対して等しいラウドネスを持つ (ホワイトノイズは等しいエネルギーを持つ)。この2つのノイズの違いは、音響心理学の研究により、人間の聴覚は過敏になる周波数が存在するという事実である。

等ラウドネス曲線は個人はもちろん、ノイズの音量にも依存するため、真のグレイノイズは存在しない[1]。数学的に簡明で明確に定義された等ラウドネスノイズの近似は、ヘルツ当たりではなくオクターブ当たりのエネルギー量が等しくなるピンクノイズである (すなわち線形ではなく対数的な振る舞いをする)。よってピンクノイズの方がホワイトノイズに比べ「全ての周波数で等しいラウドネスを持つ」といえる[2]。

 

正則でない行列の場合にも逆行列のような都合のよい行列として擬逆の概念を導入する。

ムーア-ペンローズの擬似逆行列(ぎじぎゃくぎょうれつ、pseudo-inverse matrix)は線型代数学における逆行列の概念の一般化である。擬逆行列、一般化逆行列、一般逆行列(英: generalized inverse)ともいう。また擬は疑とも書かれる。

連立一次方程式の解を簡潔に表現するものとして逆行列の概念は重要であり、逆行列を持つ行列は、可逆あるいは正則であると言われる。正則でない行列の場合にも逆行列のような都合のよい行列として擬逆の概念を導入する。ロボット工学に関していうならば、動特性の同定や冗長ロボットの制御などで良く用いられている。

m × n 行列 A に対し、A の随伴行列(複素共軛かつ転置行列)を A* とするとき、以下の4条件を満足する n × m 行列 A+ はただ一つ定まる:

A と A+ は互いに広義可逆元である:

A A+ および A+A はエルミート行列である:

この行列 A+ を A の擬似逆行列と呼ぶ。A が正則でなくとも A+ は定まるが、A が正則ならば逆行列 A−1 はこの条件を満たす。ゆえに擬似逆行列の概念は逆行列の概念の一般化を与えていることがわかる。

擬似逆行列は以下のような性質を持つ。





行列 A に対して


A の特異値分解を とすると、

が成立する。 ( の成分は 、 の成分は とすると、 である。)

行列 に対してn 次正方行列 は、 の零空間の直交補空間 への直交射影である。
n 次正方行列 は、 への直交射影である。
を 行列とする。連立一次方程式 に対して方程式が解を持つとき
を任意の 次元列ベクトルとして、すべての解は と表せる。ノルム が最小の解は で与えられる。 が正則なら で、ただ一つの解を持つ。
方程式が解を持たないとき
前述の は を最小にするベクトル(最小2乗解)である。

 

群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1 と a が単位元であることは同値である。

群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。

群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1 と a が単位元であることは同値である。G のすべての(単位元でない)元がその逆元と同じで (a2 = eで)あれば、ord(a) = 2 でありしたがって G は初等的な群論(英語版)によって なのでアーベル群である。このステートメントの逆は正しくない。例えば、6を法とした整数のなす(加法的)巡回群 Z6 はアーベル群であるが、数 2 は位数 3 をもつ:


位数の2つの概念の関係は次のようである。a によって生成される部分群を


と書けば、


任意の整数 k に対して


一般に、G の任意の部分群の位数は G の位数を割り切る。よりきちんと書くと、H が G の部分群であれば、


上から直ちに出る結果として、群のすべての元の位数は群の位数を割り切ることがわかる。例えば、上で示された対称群において、ord(S3) = 6 であったが、元の位数は 1, 2, 3 である。

以下の部分的な逆が有限群に対して正しい: dが群 G の位数を割り切り d が素数であれば、Gの位数 d の元が存在する(これはコーシーの定理と呼ばれることがある)。主張は合成数の位数に対しては成り立たない、例えば、クラインの四元群は位数 4 の元をもたない。これは帰納法によって証明できる[1]。定理の結果は次を含む:群 G の位数が素数 p のベキであることと G のすべての a に対して ord(a) が p のあるベキであることは同値である[2]。

a の位数が無限であれば、a のすべてのベキも同様に無限の位数をもつ。a の位数が有限であれば、次の公式が a のベキの位数に対して成り立つ: すべての整数 k に対して


とくに、a とその逆元 a−1 は同じ位数をもつ。

任意の群において、


積 ab の位数を a と b の位数に関係付ける一般的な公式は存在しない。実は、a と b の位数が両方有限であるのに ab の位数が無限であったり、a と b の位数が無限であるのに ab の位数が有限であることがある。前者の例は群 において a(x) = 2-x, b(x) = 1-x で ab(x) = x-1。後者の例は a(x) = x+1, b(x) = x-1 で ab(x) = id。ab = ba であれば、少なくとも ord(ab) は lcm(ord(a), ord(b)) を割り切るということは言える。その結果、有限アーベル群において、m で群の元のすべての位数の最大値を表せば、すべての元の位数は m を割り切ることを証明できる。

位数

数学の分野である群論において、群の位数(order) はその濃度、すなわち、その集合に入っている元の個数である。また、群の元 a の位数(order, ときに period)は am = e であるような最小の正の整数である(ただし e は群の単位元を表し am は a の m 個のコピーの積を表す)。そのような m が存在しなければ、a の位数は無限であるという。

群 G の位数は ord(G) や |G| で表記され、元 aの位数は ord(a) や |a| で表記される。

例。対称群 S3 は以下の乗積表をもつ。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
この群は 6 つの元をもつので、ord(S3) = 6 である。定義によって、単位元 e の位数は 1 である。s, t, w の各々は自乗すれば e になるので、これらの群の元の位数は 2 である。一覧表を完成するには、u と v の位数はどちらも 3 である、というのも u2 = v であり u3 = vu = e であり、v2 = u であり v3 = uv = e だからだ。

 

体は演算に関して閉じている。体 の拡大体 は, 上のベクトル空間になっています.

ある体 に,幾つかの元を付け足すことで, を含む体 を作れるとき, を の 拡大体 (もしくは単に 拡大 )と呼びます.


群論では,群の部分群を考えることに興味があり,正規部分群,中心,固定部分群など,部分群に関する色々な話題がありました.一方,体論で興味があるのは,ある体に何か元をつけたして体を拡大していくことです.

さて,体 の元を とし,ここに新たに元 を添加する場合を考えてみましょう.体は演算に関して閉じていますから,もともと に含まれていた元と を四則演算して組み合わせた元,例えば なども に含まれるなければなりません.そのため,元を一個だけ添加したつもりでも,通常,拡大体は よりずっと大きな集合になることに注意してください.

いま,添加された元と,それらの四則演算によって新しく増えた元をまとめて と書きましょう.つまり です. が や を含むことを考えれば,一般に の元は全て のように, の元と新たに増えた元の線形結合の形で表現できるはずです.また, の元と の元の間には分配法則 がなりたちます.これより,『 は 上のベクトル空間になっている』と見ることできます.

 

体 の拡大体 は, 上のベクトル空間になっています.
ベクトル空間の基底は新たに増えた元 で,係数は の元 というわけです.また, 上のベクトル空間と見たときの の次元を EのF上の次数 もしくは 拡大次数 と呼び, と書きます. が有限のとき を 有限次拡大体 ,無限のとき 無限次拡大体 と呼びます.

 

既約

アイゼンシュタインの既約判定法(アイゼンシュタインのきやくはんていほう、英: Eisenstein's criterion)は整係数の多項式有理数体 上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来[1]。20世紀初頭では、シェーネマン=アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテオドル・シェーネマン(英語版)がこの定理を最初に発表した[2]ことに由来する.[3][4]。


を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a0, a1, …, an が

i ≠ n の場合は ai は p で割り切れる
an は p で割り切れない
a0 は p2 で割り切れない
を満たすならば、 は有理数体 上で既約である。