リー代数 (Lie algebra)、もしくはリー環[注 1]は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。

ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進

ローレンツ変換

並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると

となる。

ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

わ

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。