複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。
数学におけるリーマンゼータ関数（リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function）とは、
で表される関数 ζ のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数とも呼ばれる。
ガンマ関数を用いれば、リーマンゼータ関数を
とも定義できる。
すでにオイラーがこの関数を考察して主に特殊値に関する重要な発見をしていたが、のちにより重要な貢献をしたリーマンが用いたギリシャ文字の ζ による表記に因み、リーマンゼータ関数と呼ぶ。上記級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する（s = 1 のとき調和級数である）が、解析接続によって s = 1 を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。
