群 は、各因子がすべてアーベル群であるような連正規列(英語版)を持つとき、つまり部分群の列 があって剰余群 がアーベル群であるとき、可解群と呼ばれる[2]。

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可解群
 
数学、特に群論の分野において、可解群(かかいぐん、英: solvable group, soluble group、独: Auflösbare Gruppe)は、アーベル群から群の拡大を用いて構成できる群のことである。つまり、可解群は導来列が自明な群で終わるような群のことである。

歴史的には、「可解」という語はガロア理論による5次以上の一般の方程式は代数的に解けないこと(アーベル–ルフィニの定理)の証明から来ている。特に、標数0の体上の代数方程式が根号を用いて解けるのは対応するガロア群が可解群であるとき、およびそのときに限る[1]。

群 は、各因子がすべてアーベル群であるような連正規列(英語版)を持つとき、つまり部分群の列


があって剰余群 がアーベル群であるとき、可解群と呼ばれる[2]。

また、 の導来列


( は の交換子群)が最終的に G の自明な部分群{1}に達することと定義もできる[3]。任意の群Hとその正規部分群Nについて、商群 H / NはNがH(1)を部分群として含むとき、およびそのときに限りアーベル群であるため、この2つの定義は同値である。 となるような最小のnは可解群Gの長さあるいは導来長さ(derived length) と呼ばれる。

有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。多項式ガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。たとえば、整数の加法群Z のすべての非自明な部分群はZ自身と同型であるため、Zは組成列を持たないが、正規列{0,Z}を持ちその唯一の商 Z/0 は Zと同型(つまり可換)だから、可解群である。

基本的な有限群のクラスがなす階層
全てのアーベル群は自明に可解群である。これは正規列が自明な群と自分自身で与えられるからである。しかし非アーベル群は可解群であるとは限らない。

より一般的に、すべての冪零群は可解群である。特に、有限p-群は冪零群であるため可解群である。

冪零群ではないが可解群である位数の小さい群の一例は、対称群S3である。 実は、位数最小の非アーベル単純群が5次の交代群A5であり、したがって位数60未満のすべての群は可解である。

群 S5は可解群ではない。 S5は組成列{1, A5, S5}を持ち(そしてジョルダン・ヘルダーの定理より全ての組成列はこれと同値)、因子群はそれぞれA5、C2と同型であるが、A5はアーベル群ではないためである。この議論を一般化すると、n ≧5についてAnはSnの最大の正規非アーベル単純群であることが分かる。よってn≧5のときSnは可解群ではない。この事実は、n≧5に対してn次の代数方程式であって冪根で解けないものがあるというアーベル-ルフィニの定理の証明のキーとなるステップである。この性質は計算複雑性理論においてもバーリントンの定理(英語版)の証明で使われている。

単位的な可換環上の正則な上三角行列がなす群は可解群である[4]。

全てのp-シロー部分群が巡回群であるような有限群は2つの巡回群の半直積であり、特に可解群である。そのような群はZ群(英語版)と呼ばれる。