linear time-invariant system

LTIシステム理論(英語: LTI system theory)は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系(linear time-invariant system)に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間(画像処理や場の古典論など)やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変(linear translation-invariant)という用語も使われる。離散時間(標本化)系では対応する概念として線型シフト不変(linear shift-invariant)がある。

伝達関数法(でんたつかんすうほう)とは、複素関数論(ラプラス変換など)を用いた制御系の解析法である。

伝達関数 (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換(または Z 変換)の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s)、入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s) とすれば、伝達関数 G(s) は

G
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
=
L
[
y
(
t
)
]
L
[
x
(
t
)
]
G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left[y(t)\right]}{{\mathcal {L}}\left[x(t)\right]}}

と表される。

離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、

H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
Z
[
y
(
n
)
]
Z
[
x
(
n
)
]
H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\left[y(n)\right]}{{\mathcal {Z}}\left[x(n)\right]}}

と表される。

この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換(または Z 変換)によって複素平面写像を取り、さらに周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力(線形関数)に限られているため、複雑な系(多入力多出力、非線形)の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。

フーリエ級数フーリエきゅうすう、Fourier series)とは、複雑な周期関数や周期信号を、単純な形の周期性をもつ関数の(無限の)和によって表す方法である。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。

熱伝導方程式は、偏微分方程式として表される。フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えば正弦波などの場合の特別な解しかえられていなかった。この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波の和として考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。

最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、電気工学、振動の解析、音響学、光学、信号処理、量子力学および経済学[1]などの分野で用いられている。

ラプラス方程式ラプラスほうていしき、英: Laplace's equation)は、2階線型の楕円型偏微分方程式

∇2φ = Δφ = 0
である。ここで、∇2 = Δ はラプラシアンラプラス作用素ラプラス演算子)である。なお、∇ についてはナブラを参照。ラプラス方程式は、発見者であるピエール=シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学天文学流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。

R3 の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる:


2

x
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
+

2

y
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
+

2

z
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
=
0.
{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\phi (x,y,z)=0.}
数学以外の自然科学の分野では、たとえば電荷分布のない一様な媒質中の静電ポテンシャルや、熱伝導など拡散方程式の定常な場合などがこの方程式で表される。ラプラス方程式には、時間に当たる変数 t が含まれていない。即ち、ラプラス方程式は、時間によって変化しない定常状態を表す偏微分方程式であると言える。時間を反映した変数がないので、ラプラス方程式には、初期条件はなく、境界条件だけが必要となる。

ラプラシアン固有値は、ある関数 u ≠ 0 について


u
=
λ
u
\triangle u=\lambda u
を満たすような λ である。これはヘルムホルツ方程式である。

ヘルムホルツ方程式(ヘルムホルツほうていしき、Helmholtz equation)は、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツの名にちなむ方程式で、

(

2
+
k
2
)
A
=
0
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}
という楕円型偏微分方程式である。 ここで

2
\nabla ^{2}はラプラシアン、k は定数、A = A (x, y, z ) は3次元ユークリッド空間 R3 で定義された未知関数である。k = 0 はラプラス方程式である。

ヘルムホルツ方程式はしばしば、時間と空間の両方を含む偏微分方程式が関わる物理学の問題を扱うときに現れる。そうした偏微分方程式を扱うにあたって変数分離を行うことにより、時間によらない部分 としてヘルムホルツ方程式が出てくるのである。

例えば波動方程式

(

2

1
c
2

2

t
2
)
u
(
r
,
t
)
=
0
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u({\boldsymbol {r}},t)=0}
を考える。関数 u (t ) が時間部分と空間部分に分離できると仮定して

u
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
T
(
t
)
{\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)=A({\boldsymbol {r}})T(t)}
と変数分離し、これを波動方程式に代入し整理すると

(

2
+
k
2
)
A
=
0
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}
(
d
2
d
t
2
+
ω
2
)
T
=
0
{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0}
という2つの微分方程式が得られる。ここで k は分離定数であり、また ω = kc とおいた。 これで、空間変数 r に関するヘルムホルツ方程式と、時間に関する2階の常微分方程式が得られた。時間の常微分方程式の解は角振動数 ω の sin と cos の線形結合で表される。一方、空間の微分方程式の解は境界条件によって決まる。 また、ラプラス変換フーリエ変換などの積分変換によって、双曲型の偏微分方程式ヘルムホルツ方程式に変換されることもある。

ヘルムホルツ方程式は波動方程式と関連があるので、電磁波の放射、地震学、音響学などの物理学の諸分野で出てくる。

偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述することにしばしば用いられる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションやコンピュータグラフィックス、あるいは天気予報などといったものを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、一般相対性理論量子力学の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、経済学においても重要な概念であり、特に金融工学において多用される。

数学の分野における楕円型偏微分方程式(だえんがたへんびぶんほうていしき、英: elliptic partial differential equation)とは、一般的な二階の偏微分方程式

A
u
x
x
+
2
B
u
x
y
+
C
u
y
y
+
D
u
x
+
E
u
y
+
F
=
0
{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\,}
で次の条件を満たすもののことを言う:

B
2

A
C
<
0.

{\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }
(ここで、暗に
u
x
y
=
u
y
x
{\displaystyle u_{xy}=u_{yx}} を意味している)。

円錐断面や二次形式を分類する際に判別式
B
2

4
A
C
{\displaystyle B^{2}-4AC} を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。しかし、偏微分方程式に対する判別式はそれとは異なり、
B
2

A
C
{\displaystyle B^{2}-AC} で与えられることが慣例となっている(詳細については「二階の方程式(英語版)」を参照されたい)。前述の形式は、平面上の楕円の方程式

A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+

=
0
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0}
と同様のものである。この方程式は(
u
x
y
=
u
y
x
=
0
{\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=0} である場合には)

A
u
x
x
+
C
u
y
y
+
D
u
x
+
E
u
y
+
F
=
0
{\displaystyle Au_{xx}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0}
および
A
x
2
+
C
y
2
+

=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+\cdots =0} へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式
x
2
a
2
+
y
2
b
2

1
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0} に類似している。

一般的に、n 個の独立変数 x1, x2 , ..., xn が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される:

L
u
=

i
=
1
n

j
=
1
n
a
i
,
j

2
u

x
i

x
j
+ (lower-order terms)
=
0
{\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ + (lower-order terms)}}=0\,},
ここで、L は楕円型作用素である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては

a

2
u

x
2
+
b

2
u

x

y
+
c

2
u

y
2
+
d

2
u

y

z
+
e

2
u

z
2
+ (lower-order terms)
=
0
,
{\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+b{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+d{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\partial z}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0,}
が得られる。ここで、u が完全分離可能(英語版)(すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z))である場合には、

a

2
u

x
2
+
c

2
u

y
2
+
e

2
u

z
2
+ (lower-order terms)
=
0
{\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0}
が得られる。

これは、楕円体の方程式
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2

1
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0} と対応している。 いちばん簡単な例は,


u
=
f
(
x
)
{\displaystyle \triangle u=f(x)}
のようなラプラス方程式である。

楕円体(だえんたい、ellipsoid)とは楕円を三次元へ拡張したような図形であり、その表面は二次曲面である。楕円面の方程式は

x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1
である。ここで a, b, c はそれぞれx軸、y軸、z軸方向の径の半分の長さに相当する。なお a = b = c である楕円体は球である。また a, b, c のうちいずれか2つが等しい楕円体は楕円の軸を中心に楕円を回転して得られる回転体であり、回転楕円体と呼ばれる。楕円体は球と同様にxy平面、yz平面、zx平面に関して対称である。

楕円面の媒介変数表示は極座標系を用いると

x =asin⁡θcos⁡φ y =bsin⁡θsin⁡φ z =ccos⁡θ{\begin{aligned}x&=a\sin \theta \cos \varphi \\y&=b\sin \theta \sin \varphi \\z&=c\cos \theta \end{aligned}}
0

θ

π
,
0

φ

2
π
0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi
と表される。楕円体の体積 V は

V
=
4
3
π
a
b
c
V={\frac {4}{3}}\pi abc
である。表面積 S は

S
=
2
π
(
c
2
+
b
a
2

c
2
E
(
o
ε
,
m
)
+
b
c
2
a
2

c
2
F
(
o
ε
,
m
)
)
S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right)
となる。
o
ε
o\!\varepsilon はモジュラー角、
m
=
b
2

c
2
b
2
sin
2

o
ε
m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}、
E
(
o
ε
,
m
)
E(o\!\varepsilon ,m)、
F
(
o
ε
,
m
)
F(o\!\varepsilon ,m) はそれぞれ第一種および第二種楕円積分である。近似式で

S

4
π
(
a
p
b
p
+
a
p
c
p
+
b
p
c
p
3
)
1
/
p
S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{{1/p}}
という公式が知られている。ここでpは定数で、p = 1.6075 のとき誤差は最大でも1.061%である。