窓関数を使って求めたスペクトル と、本来のスペクトル は、もちろん同じではない。 積のフーリエ変換はフーリエ変換の畳み込み、つまり、 である。 余分な が畳み込まれることによって、フーリエ変換の結果は変化するが、この変化は望ましいものではない。 …

窓関数（まどかんすう、英: window function）とは、ある有限区間（台）以外で0となる関数である。 ある関数や信号（データ）に窓関数が掛け合わせられると、区間外は0になり、有限区間内だけが残るので、数値解析が容易になる。 窓関数は、スペクトル分析、…

大まかに、離散ウェーブレット変換はデータ圧縮に使われる一方で、連続ウェーブレット変換は信号解析に使われる。その結果として、離散ウェーブレット変換は工学と計算機科学において一般的に使われ、連続ウェーブレット変換は科学研究においてもっともよく…

信号表現は入力信号に合致するようなウェーブレット波形の拡大縮小（スケーリング）・平行移動（シフト）により行われる。より正確には、この信号表現はウェーブレット系列と呼ばれ、これは2乗可積分関数のヒルベルト空間における完全正規直交系の基底関数集…

ウェーブレット変換（ウェーブレットへんかん、wavelet transformation）は、周波数解析の手法の一つ。基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。フーリエ変換によって周波数特性を求める際に失われる時間領域の情報を、この変換においては残すことが可…

計算代数統計とは,代数学の理論を利用して統計学の諸問題に取り組む,比較的新しい研究分野をいう。統計学の諸概念を代数的にとらえ,必要なら再定義して,代数幾何,可換代数,組み合わせ幾何などの理論を駆使して研究するという,分野横断的な側面をもつ。グレブ…

最適化手法とは,利益,損失などの望ましい,あるいは望ましくない値を最大,または最小にするように設計する手法である。従来から経営学やオペレーションズリサーチ(OR)の中心テーマであったが,計算機技術の進歩によって過去には不可能と思われた複雑な問題が実…

複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点…

バーゼル問題（バーゼルもんだい、英: Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年に ピエトロ・メンゴリ（イタリア語版、英語版）によって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた…

二つの整数 a, b が互いに素（たがいにそ、英: coprime, co-prime, relatively prime, mutually prime）であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が…

四極子（しきょくし、英: quadrupole, quadrapole）または四重極とは、モーメントが等しい双極子が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分け…

潮汐力（ちょうせきりょく、英語：tidal force）とは、重力によって起こる二次的効果の一種で、潮汐の原因である。起潮力（きちょうりょく）とも言う。潮汐力は物体に働く重力場が一定でなく、物体表面あるいは内部の場所ごとに異なっているために起こる。あ…

「だからってそんなすぐに諦めちゃうわけ？」ポコが訊いた。全身がずぶ濡れになっていた。赤レンガはとっくに閉店してしまっていて街灯だけがアスファルトに反射していた。水たまりは波紋を広げては光の輪を投げかけ続けた。ポコがタクシーを呼び止めようと…

可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理…

テータ関数（テータかんすう、英: theta function）は、 で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その…

アドホック（ad hoc）は、「特定の目的のための」「限定目的の」などといった意味のラテン語の語句である。 ad hocのadは「～へ」「～について」、hocは「これ」「この」という意味で、英語では「for this」に相当することになる。 ヨーロッパ諸語では様々な…

数学におけるリーマンゼータ関数（リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function）とは、 で表される関数 ζ のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で…

エルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm, 英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である…

よく知られた例は、有理数体上定義される各楕円曲線がモジュラー形式に（付随する L-函数を保つように）翻訳することができることを示唆する（今ではモジュラー性定理となった）谷山・志村予想である。これを同型を以って同一視することは、厳密な意味をどう…

数学の統一理論（すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics）に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。偉大な数学者のあるもの[誰?]は、すべての主題（科目）は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いてい…

アイゼンシュタイン級数(Eisenstein series)は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン(Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる無限級数展開を持つ特別なモジュラ形式である。元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシ…

カスプ形式はフーリエ級数展開（q-展開（英語版）(q-expansion)を参照） の定数係数 a0 が 0 である。このフーリエ展開は、変換 の上半平面のモジュラー群の作用の結果として現れる。 他の群の場合には、複数のカスプを持つ場合があり、それに応じて複数のフ…

ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス＝ベルトラミ作用素を…

ラプラス作用素のスペクトルは、対応する固有函数 f が を満たすようにできる固有値 −λ の全てからなる[要検証 – ノート]。上の式はヘルムホルツ方程式と呼ばれるものである。 Ω を Rn の有界領域とすれば、ラプラス作用素の固有函数全体はヒルベルト空間 L2…

数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、英: Laplace operator）あるいはラプラシアン（英: Laplacian)は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では ∇·∇, ∇2, あるいは ∆ で表されるのが普通である。函数 f…

GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う（というよりは本質的には同じものである）。ラングランズ自身は、アルキメデス局所体（R および C）に対するラングランズ予想を、既約表現に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。ルステ…

ラングランズ・プログラム（英: Langlands program）は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 19…

その後に続く保型表現 (automorphic representation) の概念は、G としてアデール代数群としての代数群を採用することに技術的に大きな価値があることを証明した。アデールの使用は、合同部分群の族を一度に全部扱う方法であるという点で言えば、保型表現は…

調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、英: automorphic form）は、位相群 G上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（こ…

数学においてポアソン和公式(ポアソンわこうしき、英語：Poisson summation formula)とはある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見され…